그래프에서 서로 이웃한 $t$개의 꼭지점을 $t$당이라 부르자. 어떤 꼭지점이 다른 모든 꼭지점과 이웃할 때 그 꼭지점을 중심점이라 부르자. 부등식 $\frac{3}{2}\le \frac{1}{2} n <k<n$을 만족하도록 두 정수 $n$, $k$가 주어져있다. 이때, $(k+1)$당이 없지만, 없던 변을 아무렇게나 추가해도 $(k+1)$당이 반드시 생기는 꼭지점 $n$개를 가진 그래프가 가질 수 있는 최소의 중심점 수는 몇 개인가?
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2012 중국 TST1 둘째날 3번문제
양의 정수 $n$이 주어져있다. 이때 다음 조건을 만족하는 모든 함수 $f:\mathbb Z\to \mathbb{Z}$를 구하여라.
모든 정수 $x$, $y$에 대해 $f(x+y+f(y))=f(x)+ny$
($\mathbb{Z}$는 정수 전체의 집합이다.)
2012 중국 TST1 둘째날 2번문제
양의 정수 $n$의 양의 약수의 갯수를 $\tau(n)$이라 하자. 만일 $n$보다 작은 모든 양의 정수 $m$에 대해 $\tau(m)<\tau(n)$이면 $n$을 좋은 수라고 부르자. 이때 임의의 양의 정수 $k$에 대해, $k$의 배수가 아닌 좋은 수는 많아야 유한개 밖에 없음을 증명하라.
2012 중국 TST1 둘째날 1번문제
평면 위의 두 원 $\omega_1$, $\omega_2$에 대해 $S$를 외접원이 $\omega_1$이고 변$BC$와 만나는 방접원이 $\omega_2$인 삼각형 $ABC$ 전체의 집합이라고 하자. 이때 $S$에 속한 각 삼각형 $ABC$에 대해 점 $D$, $E$, $F$를 각각 직선 $BC$, $CA$, $AB$가 $\omega_2$와 만나는 점이라 할 때, $S$가 공집합이 아니면 삼각형 $DEF$의 무게중심이 고정되어 있음을 증명하라.
2012 중국 TST1 첫째날 2번문제
각 변의 길이가 서로 다른 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 점 $L$, $M$, $N$을 각각 직선 $EF$, $FD$, $DE$에 대해 각각 점 $D$, 점 $E$, 점 $F$를 대칭시켜 얻은 점이라 하자. 직선 $AL$이 직선 $BC$와 만나는 점을 $P$, 직선 $BM$이 직선 $CA$와 만나는 점을 $Q$, 그리고 직선 $CN$이 직선 $AB$와 만나는 점을 $R$이라 하자. 이때 $P$, $Q$, $R$은 한 직선 위에 있음을 보여라.
2012 중국 TST1 첫째날 1번문제
모든 $i=1,2,\ldots,n$에 대해 $|x_i|=|y_i|=1$을 만족하는 복소수 $x_i$, $y_i$가 주어져있다. 이때 $x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$, $y=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i$라하고 하고, $z_i=xy_i+y x_i-x_iy_i$라 하자. 이때 $\sum_{i=1}^n |z_i|\le n$임을 증명하라.