정수 $k\ge 2$에 대해, 다음 조건을 만족하는 서로 다른 $k$개의 양의 정수 $a_1, a_2, \ldots, a_k$가 존재함을 증명하여라.

임의의 음 아닌 정수 $b_1, b_2, \ldots,b_k, c_1,c_2,\ldots,c_k$에 대해, 만일 모든 $i=1,2,\ldots,k$에 대해 $a_i\le b_i\le 2a_i$이고 $\prod_{i=1}^k b_i^{c_i} <\prod_{i=1}^k b_i$이면, \[ k\prod_{i=1}^k b_i^{c_i}< \prod_{i=1}^k b_i\]이다.

수심이 $H$인 예각삼각형 $ABC$의 변 $AB$와 $AC$위에 각각 점  $M$, $N$을 $\angle HMB=\angle HNC=60^\circ$가 되게 잡자. 삼각형 $HMN$의 외심을 $O$라 하자. 삼각형 $DBC$가 정삼각형이 되게 $D$를 직선 $BC$로 나누어진 평면에서 $A$와 같은 쪽에 있도록 잡자. 이때 $H$, $O$, $D$가 한 직선 상에 있음을 증명하라.

정수 $n\ge 2$에 대해 어떤 함수 $f:\mathbb{Z}\to \{1,2,\ldots,n\}$이 다음 조건을 만족하면 좋은 함수라 하자: 임의의 정수 $k$ ($1\le k\le n-1$)에 대해 \[f(m+j(k))\equiv f(m+k)-f(m)\pmod{n+1}\]이 모든 정수 $m$에 대해 성립하게 하는 정수 $j(k)$가 존재한다.

좋은 함수가 몇 개나 있는지 구하여라. ($\mathbb{Z}$는 정수 전체의 집합이다.)

$1$보다 큰 두 정수 $m$, $n$과 두 양의 실수 $r<s$가 주어져있다. 모두 동시에 $0$은 아닌 실수 $a_{ij}\ge 0$에 대해 다음 식의 최댓값을 구하여라. \[ f=\frac{ \left( \sum_{j=1}^n \left(\sum_{i=1}^m a_{ij}^s \right)^{\frac{r}{s}} \right)^{\frac1r} }{\left( \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n a_{ij}^r\right)^{\frac{s}{r}}\right)^{\frac{1}{s}}}.\]

주어진 정수 $n\ge 2$에 대해 다음 세 조건을 만족하는 양의 정수 $n$개의 순서쌍 $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$이 유한개밖에 없음을 증명하라.

(1) $a_1>a_2>\cdots>a_n$.

(2) $\gcd(a_1,a_2,\ldots,a_n)=1$.

(3) $a_1=\sum_{i=1}^n \gcd(a_i,a_{i+1})$.  (여기서 $a_{n+1}=a_1$이라 하자.)

두 정수 $a_1<a_2$가 주어져있다. 임의의 정수 $n\ge 3$에 대해 $a_n$을 $a_{n-1}$보다 크고 $a_{i}+a_j$ ($1\le i<j\le n-1$) 꼴로 나타낼 수 있는 최소의 정수라고 하자. 만일 수열 $a_1, a_2, \ldots$에 짝수가 유한개밖에 없다면, 수열 $\{a_{n+1}-a_n\}$은 충분히 큰 $n$에 대해 그 이후만 보면 주기를 가짐을 증명하라. 즉, 어떤 양의 정수 $N$, $T$가 존재해서 모든 $n>N$에 대해 \[a_{T+n+1}-a_{T+n}=a_{n+1}-a_n\]이다.