$a_1, a_2,\cdots,a_n$이 서로 다른 실수이고($n\ge 1$), $f(x)=(x-a_1)\cdots(x-a_n)$일 때, $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{f'(a_i)}$을 구하여라.
(1997년 10월 12일, 출처)
카테고리 보관물: 대수(대학)
1997 제16회 전국 대학생 수학경시대회 오전 4번문제
$\displaystyle w=\frac{1}{2}\left( z+\frac{1}{z}\right)$로 주어졌을 때, $z$가 원점을 중심으로 하는 원 위를 움직이면, $w$는 어떤 도형 위를 움직이는가?
(1997년 10월 12일, 출처)
1997 제16회 전국 대학생 수학경시대회 오후 1번문제
자연수 $n$과 $r$에 대하여 $F(n,r)=1^r + 2^r +\cdots n^r$이라고 가정하자.
(1) $(n+1)^{r+1}-(n+1)={{r+1} \choose 1}f(n,r)+{{r+1} \choose 2}F(n,r-1)+\cdots+{{r+1}\choose r}F(n,1)$임을 보여라.
(2) $F(n,r)$은 $n$에 관한 $(r+1)$차 다항식임을 보여라.
(1997년 10월 12일, 출처)
1997 제16회 전국 대학생 수학경시대회 오후 3번문제
한 변의 길이가 1인 정7각형에서 서로 다른 두 개의 대각선의 길이 $\rho$와 $\sigma$($\rho \lt \sigma$)는 세 식 \[\rho^2 = 1+\sigma,\ \rho\sigma = \rho+\sigma,\ \sigma^2=1+\rho+\sigma.\]를 만족함을 보여라. 그리고 $\rho$와 $\sigma$는 각각 삼차방정식 $x^3-x^2_2x+1=0$과 $x^3-2x^2-x+1=0$의 근임을 보여라.
(1997년 10월 12일, 출처)
2012 Miklós Schweitzer 수학경시대회 2번문제
Cycle group $(\mathbb{Z}_n, +)$의 부분집합이 다음 조건을 만족하면 rich하다고 하자.
모든 $x,y\in \mathbb{Z}_n$에 대해 어떤 $r\in \mathbb{Z_n}$이 존재하여 $x-r,x+r,y-r,y+r\in A$.
어떤 $\alpha$에 대해 다음 조건을 만족할 상수 $C_\alpha>0$가 존재할 수 있는가?
모든 홀수인 양의 정수 $n$에 대해 $\mathbb{Z}_n$의 모든 rich한 부분집합은 $C_\alpha n^\alpha$개 이상의 원소를 갖는다.
2012 제73회 William Lowell Putnam 수학경시대회 A2
집합 $S$위에 정의된 이항연산 $*$이 교환법칙과 결합법칙을 만족시킨다. 모든 $x,y\in S$에 대해 $x*z=y$인 ($x,y$에 따라 변하는) $z\in S$가 존재한다고 하자. 이때 $a,b,c\in S$이고 $a*c=b*c$이면 $a=b$임을 증명하라.
(2012년 12월 1일)