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컴퓨터에서 쓰이는 용어 중에서 8 비트를 word라 한다. 다시 말해서, word $w=(w_1, w_2, \cdots , w_8)$이고 $w_k\ (k=1, \cdots ,8)$ 는 0 또는 1 이다. 값이 다른 자리수의 개수가 3 인 두 word $x, y$가 있다고 하자. 이 때 $x, y$ 각각과 값이 다른 자리수의 개수가 5 이하인 word가 188 개 뿐임을 보여라.

(1997년 4월 19일)

$\triangle A_1A_2A_3$ 에 원 $O$ 가 내접하고 있다. 각 $j=1, 2, 3$ 에 대하여 선분 $OA_j$ 와 원 $O$ 의 교점을 $B_j$ 라 하고, 점 $B_j$ 를 중심으로 하고 $\angle A_j$ 의 두 변에 접하는 원이 원 $O$ 의 내부에서 선분 $OA_j$ 와 점 $C_j$ 에서 만난다고 하자. 이 때 $$\frac{\overline{OC_1}+\overline{OC_2}+\overline{OC_3}}{\overline{A_1A_2}+\overline{A_2A_3}+\overline{A_3A_1}} \le \frac 1{4\sqrt 3}$$임을 보이고 등호가 성립하는 조건을 구하여라.

(1997년 4월 19일)

양의 실수 위에서 정의된 두 함수 $f, g$ 가 다음 두 조건을 만족한다.
(i) $x<y$ 이면 $f(x) < f(y)$.
(ii) 모든 $x, y$ 에 대하여 $f(xy)=g(y)f(x)+f(y)$.
이러한 조건을 만족하는 함수 $f, g$ 의 쌍을 모두 구하여라.
(1997년 4월 19일)

숫자 1, 2, 3 을 가지고 중복하여 $n$ 자리의 자연수를 만드는데 3 만이 유일하게 서로 이웃하게 할 수 있다. 이런 방법으로 만들어진 자연수의 개수를 구하라.

(1997년 4월 20일)

양의 실수 $a_1, a_2, \cdots , a_n$ 에 대하여 \[
A =  \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}n, \quad G\ = \ \sqrt
[n]{a_1a_2\cdots a_n},\]\[\frac 1H  =  \frac 1n \left(\frac 1{a_1} + \frac 1{a_2} + \cdots
+ \frac 1{a_n} \right)
\]이라고 할 때 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\[\begin{cases}
\frac AH \le -1 + 2 \left(\frac AG\right)^n, & n\ \text{이 짝수}\\
\frac AH \le -\frac {n-2}n+\frac{2(n-1)}n \left (\frac AG\right)^n,
\qquad & n\ \text{홀수}
\end{cases}\]

(1997년 4월 20일)

$p_1, \cdots , p_r$ 이 서로 다른 소수이고 $n_1, \cdots ,n_r$ 이 임의의 자연수일 때, $x, y$ 가 서로 소이고 $x^3+y^3=p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_r^{n_r}$ 을 만족시키는 정수해의 순서쌍 $(x, y)$ 의 개수는 $2^{r+1}$ 개 이하임을 증명하여라.

(1997년 4월 20일)