총 6문제. 2017년 4월 19일-20일.
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두 정수 $a>1$, $b>1$가 서로소이면서 $a^b+b^a$이 $a+b$로 나누어 떨어진다고 한다. 이러한 순서쌍 $(a,b)$는 무한히 많음을 보여라.
서로 같아도 되는 $n$개의 양의 정수 $m_1$, $m_2$, $\ldots$, $m_n$이 있다. 정수의 수열 $A=(a_1,\ldots,a_n)$과 $m_1,\ldots,m_n$의 순열 $w=w_1,\ldots,w_n$에 대하여, $w$의 $A$-반전이란 아래 조건들 중 하나를 만족시키는 두 항 $w_i$, $w_j$ (단, $i<j$)의 쌍을 뜻한다.
- $a_i\ge w_i>w_j$,
- $w_j>a_i\ge w_i$, 또는
- $w_i>w_j>a_i$.
이때, 임의의 정수의 두 수열 $A=(a_1,\ldots,a_n)$과 $B=(b_1,\ldots,b_n)$ 및 양의 정수 $k$에 대하여, 정확히 $k$개의 $A$-반전을 갖는 순열 $m_1$, $\ldots$, $m_n$의 수가 정확히 $k$개의 $B$-반전을 갖는 순열 $m_1$, $\ldots$, $m_n$의 수가 같음을 보여라.
이등변삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$의 외접원을 $\Omega$, 내심을 $I$라 하자. 반직선 $AI$가 직선 $BC$와 만나는 점을 $D$, 원 $\Omega$와 다시 만나는 점을 $M$이라 하자. 선분 $DM$을 지름으로 하는 원이 $\Omega$와 다시 만나는 점을 $K$라 하자. 직선 $MK$와 $BC$의 교점을 $S$라 하고, 선분 $IS$의 중점을 $N$이라 하자. 삼각형 $KID$, $MAN$의 외접원이 만나는 점을 $L_1$, $L_2$라 하자. 이때 $\Omega$는 선분 $IL_1$이나 $IL_2$의 중점을 지난다는 것을 보여라.
평면 위의 단위원 $x^2+y^2=1$ 위의 점 중 $(1,0)$이 아닌 서로 다른 점 $P_1$, $P_2$, $\ldots$, $P_{2n}$ 총 $2n$개가 있다. 각 점은 빨강 혹은 파랑으로 색칠되어 있는데 정확히 $n$개의 빨간 점, $n$개의 파란 점이 있다. 빨간 점을 $R_1$, $R_2$, $\ldots$, $R_n$이라 하고, $R_1$에서 원을 따라 반시계방향으로 돌때 만나게 되는 가장 가까운 파란 점을 $B_1$이라 하자. $B_1$을 제외한 남아있는 파란 점 중에서 $R_2$에서 원을 따라 반시계방향으로 돌때 만나게 되는 가장 가까운 파란 점을 $B_2$라 하자. 같은 방법을 계속 하여 파란 점을 $B_1$, $B_2$, $\ldots$, $B_n$으로 이름을 붙이자. 이때 $R_i\to B_i$ 방향으로 반시계 방향으로 원호를 따라 이동할 때 $(1,0)$을 포함하는 $i$의 수는 처음에 $R_1$, $R_2$, $\ldots$, $R_n$을 어떻게 정하든지 간에 같은 값이 됨을 보여라.
모든 양의 정수의 집합을 $\mathbb Z$라 하자. 모든 격자점 $(x,y)\in \mathbb Z^2$ 각각에 양의 정수를 잘 표시하여 아래 두 성질을 만족시킬 수 있다고 할 때 가능한 모든 실수 $c>0$ 값을 구하라.
- 표시된 수는 유한개 종류밖에 없다.
- 각각의 정수 $i$에 대해여 $i$가 표시된 두 점의 거리는 적어도 $c^i$ 이상이다.
음수가 아닌 네 실수 $a$, $b$, $c$, $d$의 합이 $4$일 때, \[ \frac{a}{b^3+4}+\frac{b}{c^3+4}+\frac{c}{d^3+4}+\frac{d}{a^3+4}\]의 최솟값을 구하라.