$a$, $b$, $c$가 양의 실수일 때 다음을 증명하여라.\[ \frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2} + \frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2} + \frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2} \le 8\]
태그 보관물: 부등식
2001 미국수학올림피아드 3번문제
$a^2+b^2+c^2 + abc = 4$ 인 음 아닌 실수 $a$, $b$, $c$에 대해 다음을 증명하여라.\[ 0 \leq ab+bc+ca-abc \leq 2\]
2000 미국수학올림피아드 1번문제
모든 실수 $x$, $y$에 대해 다음을 만족하는 실함수 $f$를 매우 볼록하다고 말하자.\[ \frac{f(x) + f(y)}2 \geq f \left( \frac{x+y}2 \right) + |x-y|\] 매우 볼록한 함수는 존재하지 않음을 증명하여라.
2000 미국수학올림피아드 6번문제
음 아닌 실수 $a_1, b_1, a_2, b_2, \dots, a_n, b_n$에 대해 다음을 증명하여라.\[ \sum_{i,j = 1}^n \min\{a_ia_j, b_ib_j\} \leq \sum_{i,j = 1}^n \min\{a_ib_j, a_jb_i\}\]
1999 미국수학올림피아드 1번문제
$n \times n$ 체스판에 몇 개의 돌이 다음과 같이 놓여져있다.
(a) 돌이 놓여져있지 않은 칸은 반드시 변으로 이웃한 칸 중에 돌이 놓여져있는 칸이 있다.
(b) 돌이 놓여져있는 어떤 두 칸에 대해서도, 이 두 칸을 돌이 놓여져있는 칸들로만 연결하는 열이 존재한다. 단, 두 칸을 연결하는 열이란, 열의 양끝이 주어진 두 칸이고, 이 열의 연속한 두 칸은 항상 한 변을 공유하는 것이다.
이 체스판에는 $(n^2-2)/3$ 개 이상의 돌이 놓여져있음을 증명하여라.
1999 미국수학올림피아드 2번문제
원에 내접하는 사각형 $ABCD$에 대해 다음을 증명하여라.\[ |AB – CD| + |AD – BC| \geq 2|AC – BD|\]