$a_1, a_2, \dots, a_n$ 은 다음을 만족하는 실수들이다($n > 3$).\[a_1 + a_2 + \cdots + a_n \geq n \qquad \text{과} \qquad a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 \geq n^2\] $\max(a_1, a_2, \dots, a_n) \geq 2$ 임을 증명하여라.

$a_0, a_1, \dots, a_n$은 다음을 만족하는 구간 $(0,\pi/2)$ 안의 수들이다.\[ \tan(a_0 – \frac\pi4) + \tan (a_1 – \frac\pi4) + \cdots + \tan(a_n – \frac\pi4) \geq n-1\] 다음을 증명하여라.\[ \tan a_0 \tan a_1 \cdots \tan a_n \geq n^{n+1}\]

모든 양의 실수 $a$, $b$, $c$에 대해 다음을 증명하여라. \[ (a^3 + b^3 + abc)^{-1} + (b^3 + c^3 + abc)^{-1} + (c^3 + a^3 + abc)^{-1} \leq (abc)^{-1}\]

$a_1, a_2, a_3, \dots$ 는 모든 자연수 $n$에 대해 $\sum_{j=1}^n a_j \geq \sqrt{n}$ 을 만족하는 양의 실수들의 수열이다. 모든 자연수 $n$에 대해 다음을 증명하여라.\[ \sum_{j=1}^n a_j^2 > \frac14 \left( 1 + \frac12 + \cdots + \frac1n \right)\]

다음을 만족하는 함수 $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ 를 생각하자.
(i) 모든 $x \in [0,1]$ 에 대해 $f(x) \geq 0$
(ii) $f(1) = 1$
(iii) $x, y, x+y \in [0,1]$ 이면 $f(x) + f(y) \leq f(x+y)$
(i)-(iii)을 만족하는 모든 함수 $f$와 모든 $x \in [0,1]$ 에 대해 \[ f(x) \leq cx\]가 항상 성립하도록 하는 가장 작은 상수 $c$를 구하여라.

$a_0, a_1, a_2, \dots$ 은 $a_{i-1} a_{i+1} \leq a_i^2$ $(i = 1, 2, 3, \dots)$ 을 만족하는 양의 실수들의 수열이다. (이런 수열을 로그 오목하다고 말한다.) $n > 1$ 에 대해 다음이 성립함을 보여라.\[ \frac{a_0 + \cdots + a_n}{n+1} \cdot \frac{a_1 + \cdots + a_{n-1}}{n-1} \geq \frac{a_0 + \cdots + a_{n-1}}{n} \cdot \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n}\]