어떤 두 유리수 $x$, $y$도 $\displaystyle x-\frac{1}{x}+y-\frac{1}{y}=4$를 만족하지 않음을 보여라.
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2015 제29회 한국수학올림피아드 중등부 2번문제
양의 정수 $m$에 대하여, 다음 두 조건을 모두 만족하는 양의 정수의 순서쌍 $(x,y)$의 개수가 $0$ 또는 짝수임을 보여라.
(i) $x^2-3y^2+2=16m$
(ii) $2y\le x-1$
2015 일본수학올림피아드 본선 1번문제
$\frac{10^n}{n^3+n^2+n+1}$이 정수가 되게끔 하는 양의 정수 $n$을 모두 구하여라.
1987 미국수학올림피아드 1번문제
다음 방정식의 0이 아닌 정수해를 모두 구하여라.\[ (a^2+b)(a+b^2) = (a-b)^3\]
1984 미국수학올림피아드 2번문제
$m$개의 음이 아닌 수들의 집합의 기하평균이란 이 수들의 곱의 $m$제곱근을 말한다.
(i) 서로 다른 $n$개의 양의 정수들을 모은 집합 $S_n$에 대해, $S_n$의 임의의 부분집합의 기하평균이 정수가 되도록 하고 싶다. 이런 $S_n$이 존재하는 양의 정수 $n$은 어떤 것들인가?
(ii) 서로 다른 양의 정수들을 모은 무한집합 $S$ 중에서, 그 임의의 유한한 부분집합의 기하평균이 모두 정수가 되는 것이 있는가?
1977 국제수학올림피아드 5번문제
$a$와 $b$는 자연수이다. $a^2+b^2$ 를 $a+b$ 로 나누었을 때의 몫을 $q$, 나머지를 $r$이라 하자. $q^2+r = 1977$ 이 되는 모든 쌍 $(a,b)$를 찾아라.