$a_1,a_2,a_3,…$ 을 자연수들의 증가하는 무한수열이라 하자. 각각의 $p \geq 1$ 마다 \[ a_m = xa_p + ya_q \qquad\text{($x$, $y$는 자연수이고 $q > p$)} \] 꼴로 쓸 수 있는 $a_m$이 무한히 많이 존재함을 보여라.
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1970 국제수학올림피아드 3번문제
실수 $a_0, a_1, …, a_n, …$ 이 다음 조건을 만족한다: \[ 1 = a_0 \leq a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n \leq \cdots \] $b_1, b_2, …, b_n, …$ 은 다음과 같이 정의된다: \[ b_n = \sum_{k=1}^n \left( 1 – \frac{a_{k-1}}{a_k} \right) \frac1{\sqrt{a_k}} \]
(a) 모든 $n$에 대하여 $0 \leq b_n < 2$ 임을 증명하여라.
(b) $0 \leq c < 2$ 인 $c$가 주어져 있을 때, 충분히 큰 모든 $n$에 대해 $b_n>c$ 가 성립하도록 하는 수열 $a_0, a_1, …$ 이 존재함을 증명하여라.
2002 아일랜드 수학올림피아드 4번문제
$a_1 = a_2 = a_3 = 1$ 이고 $a_{n+1}a_{n-2} – a_na_{n-1} = 2$ ($n \geq 3$) 으로 정의된 수열 $(a_n)$이 있다. 모든 $n \geq 1$ 에 대해 $a_n$은 자연수임을 증명하여라.
1999 아일랜드 수학올림피아드 2번문제
피보나치 수열에는 1000의 배수가 있음을 보여라.
1999 아일랜드 수학올림피아드 5번문제
수열 $(u_n)$은 $u_0=0$, $u_1=1$, 그리고 각각의 $n \geq 1$ 에 대해 $u_{n+1}$은 다음을 만족하는, $u_n$보다 큰 최소의 정수로 정의된다: $\{u_0, u_1, \dots, u_{n+1}\}$ 의 어떤 세 항도 등차수열을 이루지 않는다. $u_{100}$을 구하여라.
1998 아일랜드 수학올림피아드 9번문제
$x_0$, $x_1$은 임의로 주어진 양의 실수이고, $n \geq 0$ 에 대해 $x_{n+2} = \dfrac{1+x_{n+1}}{x_n}$ 으로 정의되는 수열 $(x_n)$이 있다. $x_{1998}$을 구하여라.