삼각형 $ABC$에서 꼭지점 $A$의 맞은 편에 놓인 방접원이 변 $BC$에 접하는 점을 $A_1$이라 하자. 이와 비슷하게 꼭지점 $B$와 $C$의 맞은 편에 놓인 방접원들을 이용하여, 변 $CA$ 위의 점 $B_1$과 변 $AB$위의 점 $C_1$을 정의하자. 삼각형 $A_1B_1C_1$의 외심이 삼각형 $ABC$의 외접원 위에 놓여있다고 가정하자. 이때, 삼각형 $ABC$가 직각삼각형임을 증명하여라.
(여기서 꼭지점 $A$의 맞은편에 놓인 방접원이란 변 $BC$, 반직선 $AB$의 $B$를 지난 부분, 반직선 $AC$의 $C$를 지난 부분에 동시에 접하는 원을 뜻한다. 꼭지점 $B$, $C$의 맞은 편에 놓인 방접원들도 비슷하게 정의한다.)
(2013년 7월 23일 콜롬비아, 출처, 4시간 30분동안 3문제)
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2013 유럽여학생수학올림피아드 1번문제
삼각형 $ABC$의 변 $BC$를 $C$ 방향으로 연장한 반직선 위에 $CD=BC$가 되게 점 $D$를 잡았다. 변 $CA$를 $A$ 방향으로 연장한 반직선 위에 $AE=2CA$가 되게 점 $E$를 잡았다.
이때 $AD=BE$라면 삼각형 $ABC$가 직각삼각형임을 증명하라.
(2013년 4월 10일 룩셈부르크, 4시간 30분, 출처)
2013 중국수학올림피아드 1번문제
반지름이 다른 두 원$K_1$, $K_2$가 점 $A$, $B$에서 만나며 원 $K_1$의 점$C$, 원 $K_2$의 점 $D$가 있어서 선분 $CD$의 중점이 $A$라 하자. 직선 $DB$가 $K_1$과 만나는 $B$ 아닌 점을 $E$라 하고, 직선 $CB$가 $K_2$와 만나는 $B$ 아닌 점을 $F$라 하자. 선분 $CD$, 선분 $EF$의 수직이등분선을 각각 $\ell_1$, $\ell_2$라 하자.
(1) 직선 $\ell_1$, $\ell_2$은 정확히 한 점에서 만남을 증명하라. (이 점을 $P$라 하자.)
(2) $CA$, $AP$, $PE$의 길이가 직각삼각형의 변의 길이가 됨을 증명하라.
(첫째날)
2005 제18회 한국수학올림피아드 최종시험 4번문제
직각 삼각형 $ABC$의 외접원을 $O$라 하고, $\angle A=90^\circ$, $\angle B\gt \angle C$라 하자. 점 $A$, $B$에서 원$O$에 접하는 접선들을 각각 $\ell_A$, $\ell_B$라 하고, 직선 $BC$와 $\ell_A$의 교점을 $S$, 직선 $AC$와 $\ell_B$의 교점을 $D$, 직선 $AB$와 $DS$의 교점을 $E$, 직선 $CE$와 $\ell_A$의 교점을 $T$라 하자. 점 $E$에서 직선 $\ell_A$에 내린 수선의 발을 $P$라 하고, 직선 $CP$와 원 $O$의 교점을 $Q$(단, $Q\neq C$), 직선 $QT$와 원 $O$의 교점을 $R$, 직선 $BR$과 $\ell_A$의 교점을 $U$라 하자. 이때, 다음의 등식을 증명하여라. \[ \frac{SU\cdot SP}{TU\cdot TP}=\frac{SA^2}{TA^2}.\]
(2005년 4월 10일, 4시간 30분, 3문제, 출처)