2016 Vojtěch Jarník 국제수학경시대회 1분야 3번문제

어떤 $d\ge 3$에 대해 $A_1\cdots A_{d+1}$이 $\mathbb{R}^d$ 내의 단체(simplex)라 하자. (단체(simplex)란 하나의 초평면 위에 있지 않은 d+1개 점의 볼록포이다.) 모든 $i=1,\ldots,d+1$에 대해 면 $A_1\cdots A_{i-1}A_{i+1}\cdots A_{d+1}$의 외심을 $O_i$라 하자. 즉, $O_i$는 초평면 $A_1\cdots A_{i-1}A_{i+1}\cdots A_{d+1}$ 위에 있으며 점 $A_1$, $\ldots$, $A_{i-1}$, $A_{i+1}$, $\ldots$, $A_{d+1}$ 각각으로부터 같은 거리 떨어져있다. 각 $i$에 대해 $A_i$를 지나고 초평면 $O_1\cdots O_{i-1}O_{i+1}\cdots O_{d+1}$과 수직인 직선을 그리자. 이때 이 직선들이 모두 평행하거나 공통인 점을 지난다는 것을 보여라.

2014 Miklós Schweitzer 수학경시대회 10번문제

주어진 $2$차원 구의 삼각분할(triangulation)의 각 꼭지점에 평면의 볼록인 부분집합을 대응시킨다. 삼각분할의 2차원 면의 세 꼭지점 각각에 대응되는 세 개의 볼록 집합은 항상 공통인 점을 가진다고 한다. 이때, 어떤 대응되는 $4$개의 볼록 집합이 공통의 점을 갖는 4개의 꼭지점이 존재함을 보여라.

2013 Miklós Schweitzer 수학경시대회 10번문제

벡터공간 $\mathbb R^n$의 리만 계량(Riemann metric)이 임의의 두 점에 대해 그 두 점을 있는 유일한 최소 거리의 측지선(geodesic) $g(a,b)$가 있다고 한다. 모든 $a\in \mathbb R^n$에 대해 $a$에 대응되는 리만 거리(Riemannian distance) $\rho_a:\mathbb R^n\to\mathbb R$이 아래로 볼록하고 $a$ 바깥에서 미분가능하다고 하자. 이때 $a,b$와 다른 점 $x$에 대해 \[ \partial_i \rho_a(x)=-\partial_i \rho_b(x), \quad i=1,\ldots,n\]이 성립한다는 것과 $x$가 $g(a,b)$ 위에 있다는 것이 동치임을 보여라.

2013 Miklós Schweitzer 수학경시대회 11번문제

(a) 평면 위에 타원이 있다. 이때 전체 평면에 정의된 리만 계량 중 주어진 타원이 측지선(geodesic)이 되게 하는 것이 존재함을 증명하라. 아울러 그러한 리만 계량은 항상 가우스 곡률(Gaussian curvature) 값이 양수임을 보여라.
(b) 평면 위에 같은 점을 두 번 지나지 않고 시작점과 끝점이 같은 두 매끄러운 곡선(smooth curve)이 있다. 이때 두 곡선이 동시에 어느 한 리만 계량의 측지선이라고 한다면, 평면 위의 어떤 점에서는 가우스 곡률이 0이 됨을 증명하라.

2012 Miklós Schweitzer 수학경시대회 10번문제

3차원 공간에 있는 매듭 $K$가 있다. (즉, $K$는 원에서 $\mathbb{R}^3$로 가는 미분가능한 단사함수이다.) 그리고 $D$를 이 매듭의 다이어그램이라 하자. (즉 $D$는 $K$를 적당한 평면에 projection시킨 것이다.) $D$의 여집합은 검은색으로 칠하고 $D$의 안쪽의 영역들은 체스판처럼 검은색과 흰색으로 칠하되 선을 공유하는 두 영역은 서로 다른 색이 되게 한다. 검은색 영역을 꼭지점으로 하고 두 검은색 영역이 서로 한 점에서 만날때 그 대응되는 두 꼭지점을 선으로 이은 그래프를 $\Gamma_B(D)$라 하자.
a) $\Gamma_B(D)$에 spanning tree가 많아야 3개 뿐인 다이어그램 $D$를 갖는 모든 매듭을 결정하라.
b) 모든 매듭 $K$와 다이어그램 $D$에 대해 $\Gamma_B(D)$의 spanning tree 수는 홀수개임을 보여라.