2014년 12월 6일. 오전 3시간 (A1-A6), 오후 3시간 (B1-B6).
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함수 \[(1-x+x^2)e^x\]의 $x=0$에서의 테일러 급수의 0이 아닌 모든 계수는 $1$이거나 소수임을 증명하라.
어떤 $n\times n$ 행렬 $A$의 $i$번째 행 $j$번째 열의 값이 \[\frac{1}{\min(i,j)}\]이라고 한다. 이때, $\det(A)$를 구하여라.
$a_0=5/2$이고 모든 $k\ge 1$에 대해 $a_k=a_{k-1}^2-2$이라 하자. 이때 \[\prod_{k=0}^\infty \left(1-\frac1{a_k}\right)\]을 구하여라.
음아닌 정수값만 갖는 확률변수 $X$가 $E[X]=1$, $E[X^2]=2$, $E[X^3]=5$를 만족시킨다고 하자. (여기서 $E[Y]$는 확률변수 $Y$의 기대값을 뜻한다.) 이때 $X=0$이 될 확률로 가능한 최솟값을 구하여라.
양의 정수 $n$에 대해 \[P_n(x)=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}\]이라 하자. 서로 다른 양의 정수 $j$, $k$에 대해 다항식 $P_j(x)$와 $P_k(x)$는 서로소임을 증명하라.
양의 정수 $n$이 주어져 있다. 이때, 행렬 $M_iN_j$의 대각선 어딘가에 0인 값이 존재할 필요충분조건이 $i\neq j$임이 되도록 하는 $n\times n$ 실수행렬 $M_1,\ldots,M_k$와 $N_1,\ldots,N_k$이 존재할 $k$ 값 중 가장 큰 값을 구하여라.
어떤 양의 정수 $N$의 이상한 십진수 표현이란 $d_k\neq 0$이고 모든 $i$에 대해 $d_i\in\{0,1,2,\ldots,10\}$이 되게 \[N=d_k10^k +d_{k-1}10^{k-1}+\cdots+d_0 10^0\]으로 나타내는 방법을 뜻한다. 예를 들어 $N=10$은 $10=10\cdot 10^0$이나 $10=1\cdot 10^1+0\cdot 10^0$의 두 이상한 십진법 표현으로 나타낼 수 있다. 어떤 수가 십진수 표현이 유일한가?
폐구간 $[1,3]$에서 정의된 함수 $f$가 모든 $x$에 대해 $-1\le f(x)\le 1$을 만족하며 $\int_1^3 f(x)\,dx=0$이라고 하자. 이때 $\int_1^3\frac{f(x)}{x}\,dx$의 최댓값을 구하여라.
유리수의 $m\times n$ 행렬 $A$가 있다. 행렬 $A$의 항들의 절대값 중에 적어도 $m+n$개의 서로 다른 소수(prime number)가 있다고 하자. 이때 $A$의 rank는 $2$ 이상임을 보여라.
모든 양의 정수 $n$에 대해 다항식 \[\sum_{k=0}^{n}2^{k(n-k)}x^k\]의 모든 해는 실수임을 보여라.
참가자들이 수학게임으로 겨루는 제75회 푸트남 게임대회가 열린다. 어떤 고정된 양의 정수 $n$과 고정된 소수 $p$에 대해 박씨와 김씨가 서로 돌아가면서 각 항이 체 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$로 구성된 $n\times n$ 행렬 중 역행렬이 존재하는 행렬로 만들어지는 군의 원소를 선택하는 게임을 하는데 규칙은 아래와 같다.
(1) 자기나 다른 사람이 이미 고른 적이 있는 것을 고를 수는 없다.
(2) 이제까지 뽑힌 모든 행렬와 교환법칙이 성립하는 행렬만 고를 수 있다.
(3) 더 이상 행렬을 뽑을 수 없는 사람이 진다.
박씨가 먼저 게임을 시작한다고 할 때 어느 쪽에 필승 전략이 있는가? (답은 $n$과 $p$에 따라 달라질 수 있다.)
함수 $f:[0,1]\to\mathbb{R}$에서 모든 $x,y\in [0,1]$에 대해 \[ \lvert f(x)-f(y)\rvert \le K\lvert x-y\rvert\]이 성립할 어떤 상수 $K\gt 0$이 존재한다고 하자. 모든 유리수 $r\in [0,1]$에 대해, $f(r)=a+br$이 되는 정수 $a$, $b$가 존재한다고 하자. 이때, 다음 조건을 만족하는 유한개의 구간들 $I_1,I_2,\ldots,I_n$이 존재함을 보여라.
$f$는 각 $I_i$에서 선형함수이며 $[0,1]=\bigcup_{i=1}^n I_i$이다.