두 양의 정수 $a$, $b$가 어떤 소수 $p$에 대하여 $a=pb$이거나 $b=pa$가 되면 이 두 양의 정수가 소수로 연관된 사이라고 부르자. 어떤 양의 정수 $n$이 세 개 이상의 양의 약수를 가지며 $n$의 모든 양의 약수를 반복 없이 원형으로 잘 늘어놓았을 때 원 위에서 이웃한 약수는 항상 소수로 연관된 사이가 되게 할 수 있다고 한다. 이러한 양의 정수 $n$을 모두 구하여라. (단, $1$과 $n$ 역시 $n$의 약수이다.)

짝수인 양의 정수 $k$에 대하여 사라는 먼저 1보다 큰 양의 정수 $N$을 고른 후 다음 방식으로 그 수를 바꾸는 작업을 한다: 1분마다, 현재 $N$ 값의 소인수 $p$를 골라서 $N$에 $p^k-p^{-1}$을 곱하여 새로운 $N$값을 만든다. 이때 사라가 어떻게 고르더라도 언젠가는 $N$이 $2018$의 배수가 되는 무한히 많은 짝수인 양의 정수 $k$가 존재함을 증명하여라.

다음 두 식을 만족시키는 4개의 서로 다른 소수 $p_1$, $p_2$, $p_3$, $p_4$의 곱 $p_1p_2p_3p_4$으로 가능한 값을 모두 구하여라. \begin{align*} 2p_1+3p_2+5p_3+7p_4&=162,\\ 11p_1+7p_2+5p_3+4p_4&=162\end{align*}

식 $x(x+1)(x+7)(x+8)$의 값이 완전제곱수가 되는 정수 $x$를 모두 구하여라.