세 변의 길이가 $a$, $b$, $c$인 직각 삼각형의 넓이가 $a+b+c$가 된다고 할 세 정수 $a$, $b$, $c$의 순서쌍 $(a,b,c)$를 모두 구하여라.
카테고리 보관물: 정수
2008 아일랜드 수학올림피아드 오후 3번문제
모든 $i=3,\ldots,2008$에 대하여 $a_i=\pm 1$이며 \[ \sum_{i=3}^{2008}a_i 2^i=2008\]인 $a_3$, $a_4$, $\ldots$, $a_{2008}$을 찾아라. 그리고 이러한 조건을 만족시키는 그러한 수들 $a_3$, $a_4$, $\ldots$, $a_{2008}$은 유일함을 보여라.
2018 영국수학올림피아드 (BMO) 2라운드 3번문제
임의의 양의 정수 $n$에 대하여 \[ 1^3+2^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\]라서 완전제곱수임은 잘 알려져 있다. 그러면, 다음 식 \[(m+1)^3+(m+2)^3+\cdots+(2m)^3\]이 완전제곱수가 되는 양의 정수 $m$이 존재하는가?
2017 제9회 베네룩스수학올림피아드 4번문제
정수 $n\ge 2$에 대하여 가로 $n$칸, 세로 $n$칸 총 $n^2$칸으로 구성된 바둑판 형태의 판의 각 칸에 아래 두 조건을 모두 만족하도록 양의 정수가 적혀 있을때 그것을 베네룩스 $n$바둑판이라고 부르자.
- $n^2$개 양의 정수 각각이 서로 다르다.
- 어떤 행이나 열에 속한 $n$개의 수의 최대공약수를 구하여 얻은 $2n$개의 수가 모두 서로 다르다.
(a) 베네룩스 $n$바둑판에는 항상 $2n^2$ 이상의 수가 적힌 칸이 존재함을 보여라.
(b) 모든 칸에 적힌 수가 $2n^2$ 이하인 베네룩스 $n$바둑판을 극소라고 부르자. 극소인 베네룩스 $n$바둑판이 존재할 모든 $n\ge 2$를 구하라.
2017 Baltic Way 팀수학경시대회 16번문제
임의의 동아리에서 양의 정수 $N$을 잘 고르고 각 사람에게 적당한 양의 정수를 잘 골라주어서, 임의의 두 사람에 대하여 이 두 사람이 가진 수의 곱이 $N$의 배수일 필요충분조건이 그 두 사람이 친구인 것이 되도록 할 수 있겠는가?
2017 Baltic Way 팀수학경시대회 17번문제
등식 \[x^4+y^3=z!+7\]이 무한히 많은 양의 정수해를 갖는가?