1988년 4월 30일 있었던 시험 문제. 12문제로 한번 시험을 치고, 다시 3문제(B1, B2, B3)로 시험을 쳤음.
(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
loading...
정사각형을 밑면으로 갖고 모든 모서리의 길이가 2인 피라미드꼴 입체의 한 옆면을 역시 한 모서리의 길이가 2인 정사면체의 한 면과 맞붙였다. 이렇게 해서 생긴 새로운 입체의 모서리의 길이의 합은 얼마인가?
$P$는 정사각형 $ABCD$의 외접원의 호 $CD$ 위의 점이다. 다음을 증명하여라.\[ PA^2 – PB^2 = PB \cdot PD – PA \cdot PC\]
삼각형 $ABC$의 외접원에서 (점 $A$의 반대쪽에 있는) 호 $BC$의 중점을 $E$라 하고, $DE$를 지름이라 하자. $\angle DEA$의 크기는 $\angle B$와 $\angle C$의 크기의 차의 절반임을 증명하여라.
어떤 수학초보자가 삼각형 $ABC$의 두 변의 길이 $b$, $c$와 그 사잇각 $A$를 주고 남은 변의 길이 $a$를 구하라는 문제를 풀고 있다. 그는 코싸인 법칙 \[ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A\]를 이용하여 풀려고 했는데, 로그 법칙을 잘못 적용하여 다음과 같은 식을 세웠다.\[ \log a^2 = \log b^2 + \log c^2 – \log(2bc \cos A)\] 그가 이 식의 우변을 정확히 계산한 후 로그의 역함수를 취해 풀었더니 우연히 맞는 답이 나왔다. 삼각형 $ABC$는 어떤 삼각형일까?
한 사람이 일곱 명의 친구를 일주일(7일) 동안 매일 세 명씩 저녁식사에 초대한다. 모든 친구가 적어도 한 번은 초대되도록 한다면 가능한 방법은 모두 몇 가지인가?
$n$개의 벽돌이 있는데, 각각의 무게는 $n$보다 작은 자연수이다. 또, 이 벽돌 전체의 무게는 $2n$이다. 이 벽돌들을 각각 무게 $n$이 되는 두 그룹으로 나눌 수 있음을 증명하여라.
실수의 집합 $\mathbb{R}$에서 정의된 함수 $f$에 대해, $f(a+x) = f(x)$ 를 만족하는 실수 $x$가 존재할 때 $f$가 길이 $a\,(>0)$ 의 수평현을 갖는다고 말한다. 삼차 함수\[ f(x) = x^3 – x\]가 길이 $a$의 수평현을 가질 때, 또 그 때만, $0 < a \leq 2$ 임을 보여라.
0이 아닌 실수들의 수열 $x_1, x_2, x_3, \ldots$은 다음의 점화식을 만족한다.\[ x_n = \frac{x_{n-2}x_{n-1}}{2x_{n-2} – x_{n-1}} \qquad (n \geq 3)\] 이 수열의 무한히 많은 항이 정수가 되도록 하는 $(x_1, x_2)$를 모두 구하여라.
1978년은 $19+78 = 97$ 이 되는, 즉 처음 두 자리 수와 마지막 두 자리 수를 합하면 중간의 두 자리 수가 되는 `남다른’ 성질이 있다. 이와 같은 남다른 성질을 갖는 직전의 해와 직후의 해는 각각 몇 년도인가?
임의의 양의 정수 $n$과 임의의 $0 \leq x \leq 1$ 에 대해 다음 부등식이 성립함을 증명하여라.\[ (1+x)^n \geq (1-x)^n + 2nx(1-x^2)^{\frac{n-1}2}\]
나눗셈을 할 수 없는 상황일 때는 종종 $\frac1a$ $(a>0)$ 의 십진전개를 얻기 위해 다음의 식을 반복하는 것이 편할 때가 있다.\[ x_{k+1} = x_k(2 – ax_k), \qquad k = 0, 1, 2, \ldots\] 단, $x_0$은 초기값으로 하나 선택된 것이다. 이 점화식에 의해 수열이 원하는 값 $\frac1a$로 수렴하기 위한 초기값 $x_0$의 조건을 구하여라.
임의의 자연수 $n$에 대해 다음이 성립함을 보여라.\[ \sum_{k=1}^n \cos^4 \frac{k\pi}{2n+1} = \frac{6n-5}{16}\]
평면 위의 삼각형 $ABG$와 $AEF$가 다음 조건을 만족한다:
(a) $E$는 $AB$의 중점이다.
(b) 점 $A$, $G$, $F$는 한 직선 위에 있다.
(c) 선분 $BG$와 $EF$가 점 $C$에서 만난다.
(d) $|CE|=1$ 이고 $|AC| = |AE| = |FG|$ 이다.
$|AG| = x$ 일 때, $|AB| = x^3$ 임을 보여라.
$x_1, \ldots, x_n$은 $n$개의 정수이고 $p$는 $n$보다 작은 자연수이다. \begin{align*} S_1 &= x_1 + x_2 + \cdots + x_p \\ T_1 &= x_{p+1} + x_{p+2} + \cdots + x_n \\ S_2 &= x_2 + x_3 + \cdots + x_{p+1} \\ T_2 &= x_{p+2} + x_{p+3} + \cdots + x_n + x_1 \\ &\vdots \\ S_n &= x_n + x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} \\ T_n &= x_p + x_{p+1} + \cdots + x_{n-1} \end{align*}이라 하자. $a, b \in \{0,1,2,3\}$ 에 대해, $S_i \equiv a \pmod4$, $T_i \equiv b \pmod4$ 인 $i$ ($1 \leq i \leq n$) 의 개수를 $m(a,b)$라 하자. $m(1,3) \equiv m(3,1) \pmod4$ 일 때, 또 그 때만 $m(2,2)$가 짝수임을 보여라.
다음과 같은 버스 노선을 가진 도시가 있다:
(a) 각각의 노선마다 정확히 11개의 버스 정류소가 있다.
(b) 임의의 두 버스 정류소 사이를 노선을 갈아타지 않고 갈 수 있다.
(c) 임의의 두 버스 노선은 공통으로 지나는 정류소가 정확히 하나 있다.
이 도시에는 몇 개의 버스 노선이 있는가?