정육각형의 각 꼭지점마다 하나의 양의 정수를 써서 합이 $2003^{2003}$이 되도록 하였다. 병팔이가 다음과 같은 방식으로 일련의 움직임을 행한다: 한 꼭지점을 고르고, 그 꼭지점의 수를 그 꼭지점에 이웃한 두 꼭지점의 수의 차로 바꾸어 쓴다. 병팔이는 모든 여섯 개의 수가 똑같이 0이 되어 끝나도록 하는 일련의 움직임을 언제나 찾을 수 있음을 증명하여라.

빨간 카드 $R$장, 하얀 카드 $W$장, 파란 카드 $B$장이 있다. 한 사람이 이 카드들을 가지고 다음과 같은 게임을 한다. 각각의 턴마다 한 장씩 내고, 그에 대해 받게 되는 벌점을 누적하여 합한다. 파란 카드를 내면 아직 그가 갖고 있는 하얀 카드의 수만큼 벌점을 받고, 하얀 카드를 내면 아직 그가 갖고 있는 빨간 카드의 수의 두 배만큼 벌점을 받는다. 또, 빨간 카드를 내면 아직 그가 갖고 있는 파란 카드의 수의 세 배만큼 벌점을 받는다. 이 사람이 받게 되는 벌점의 최소합을 $R$, $W$, $B$에 대한 식으로 구하고, 그 최소합이 나오도록 게임하는 방법을 모두 찾아라.

두 사람이 다음과 같은 Y2K라는 게임을 한다. $1 \times 2000$ 판에 서로 번갈아가며 문자 S 혹은 O를 빈칸에 하나씩 써 넣는데, SOS라는 연속된 글자를 먼저 만드는 사람이 이긴다. 만약 SOS라는 문자열이 나오지 않으면 무승부가 된다. 두 번째 사람이 필승의 전략을 가짐을 증명하여라.

컴퓨터 화면에 흑백이 번갈아 칠해진 $98 \times 98$ 체스판이 떠있다. 마우스로 이 체스판의 한 격자직사각형 영역을 선택하고 마우스를 클릭하면, 선택된 영역의 모든 칸이 반전된다(검은칸은 흰칸으로, 흰칸은 검은칸으로 색이 바뀐다). 이 체스판 전체를 한 가지 색으로 만들려면 마우스 클릭은 최소 몇 번 필요한가?

99각형의 각 변이 차례로 빨강, 파랑, 빨강, 파랑, …, 빨강, 파랑, 노랑으로 칠해져있다. 한 번에 한 변씩 택해 이 세 가지 색 중에서 다른 색으로 바꿀 수 있는데, 이웃한 변은 언제나 서로 다른 색이어야 한다. 이런 조작을 유한번 반복하여 각 변이 차례로 빨강, 파랑, 빨강, 파랑, …, 빨강, 노랑, 파랑이 되도록 할 수 있는가?

아버지, 어머니, 아들 세 사람이 비기는 경우가 없는 2인용 보드게임 토너먼트를 한다. 토너먼트의 규칙은 다음과 같다:
(i) 게임에 가장 약한 사람이 맨처음 경기를 할 두 사람을 고른다.
(ii) 한 경기에 이긴 사람이 바로 다음 경기를 나머지 한 사람과 갖는다.
(iii) 가장 먼저 두 경기를 이긴 사람이 토너먼트의 우승자가 된다.
아버지가 가장 약하고, 아들이 게임에 가장 강하며, 각 두 사람 간에 한쪽이 이길 확률은 토너먼트가 벌어지는 동안 변하지 않는 것으로 간주한다. 토너먼트에서 우승하기 위한 아버지의 최선의 전략은 맨처음 경기를 어머니랑 둘이 하는 것임을 증명하여라.