$n \ge 2$인 자연수 $n$이 있다. $n$마리의 벼룩이 실수선 상에 있다. 모든 벼룩이 한 자리에 있지는 않다 하자. 어떤 양의 실수 $\lambda$에 대해 다음을 한 번의 이동이라 정의 하자.

벼룩들 중 두 마리 벼룩이 점 $A$, $B$에 있다 하자. 이 때 $A$는 $B$의 왼쪽에 있다. $A$에 있는 벼룩이 $B$의 오른쪽에 있는 점 $C$로 이동하되, $\dfrac{BC}{AB}=\lambda$를 만족한다.

다음을 만족하는 양의 실수 $\lambda$를 모두 결정하여라 : 임의의 점 $M$에 대해, 처음에 $n$마리의 벼룩이 어떻게 놓여져 있든지 상관없이, 항상 이 벼룩들을 어떤 유한 번의 이동을 통해 $M$의 오른쪽으로 모두 옮겨가도록 할 수 있다.

처음에 $1$보다 큰 정수 $n_0$이 주어져 있고, 두 경기자 $A, B$가 다음
규칙에 따라서 정수 $n_1, n_2, n_3,\cdots$을 번갈아 뽑고 있다.
$n_{2k}$를 알았을 때, $A$는 $n_{2k} \le n_{2k+1} \le n^2_{2k}$인 정수 $n_{2k+1}$을 뽑고, $n_{2k+1}$을 알았을 때, $B$는 $\dfrac{n_{2k+1}}{n_{2k+2}}$이 소수의 자연수 거듭제곱이 되는 정수 $n_{2k+2}$를 뽑는다.
$A$는 $1990$을 뽑으면 이기고, $B$는 $1$을 뽑으면 이긴다고 한다.
다음 각각을 만족시키는 $n_0$을 모두 구하고 그 이유를 설명하여라.
(a) $A$가 이길 수 있는 $n_0$,
(b) $B$가 이길 수 있는 $n_0$,
(c) $A$도 $B$도 이길 수 없는 $n_0$.

정오각형의 각 꼭짓점에 정수가 하나씩 부여되어 있고 그 다섯 수의 합은 양수이다. 연속하는 세 꼭짓점의 수가 각각 $x$, $y$, $z$이고 $y < 0$ 이라면, 세 수 $x$, $y$, $z$를 각각 $x+y$, $-y$, $z+y$ 로 바꿀 수 있다. 다섯 개의 정수들 중에 음수가 하나라도 남아있으면 이런 작업이 계속 수행된다. 이 절차가 항상 유한 번만에 끝나는지 알아내어라.

5명의 학생 $A, B, C, D, E$가 어떤 시합에 참가하였다. 누군가 경기 결과가 $ABCDE$의 순서가 될 것이라는 예상을 하였다. 그러나 이 예상은 엉터리였다. 어떤 선수도 예상한 순위가 되지 않았고, 연속된 순위가 될 것이라 예상됐던 어떤 두 선수도 실제로는 그렇지 않았다. 경기 결과가 $DAECB$의 순서가 될 것이라고 예상한 또 다른 사람이 있었다. 이 예상이 좀 더 나은 편이었다. 정확히 두 명의 선수가 예상했던 순위와 같은 결과를 얻었고, 이 예상에서 연속된 순위가 될 것이라 예상됐던 서로 겹치지 않는 두 쌍의 선수들이 실제로도 연속한 순위를 기록하였다. 이 때, 이 시합의 실제 순위를 구하여라.