주어진 삼각형 $ABC$와 만나지 않는 직선 $l$이 있다. 점 $A, B, C$에서 직선 $l$에 내린 수선의 발을 각각 $L, M, N$이라고 하고, 점 $L, M, N$에서 각각 직선 $BC, CA, AB$에 내린 수선의 발을 각각 $X, Y, Z$라 한다. 세 직선 $LX, MY, NZ$가 한 점에서 만남을 증명하여라.

(1996년 4월 13일)

임의의 삼각형의 세 내각의 크기를 $\alpha, \beta, \gamma$라 할 때 $$csc^2 \frac{\alpha}2 +csc^2\frac {\beta}2+csc^2\frac{\gamma}2\geq 12$$임을 증명하고, 등호가 성립하는 경우를 찾아라.

(1994년 4월 16일)

삼각형 $ABC$에 대하여 다음 물음에 답하여라.

(i) $\cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C=1-2\cos A\cos B\cos C$임을 증명하여라.

(ii) $\cos A : \cos B : \cos C = 39:33:25$ 일 때 $\sin A : \sin B : \sin C$
를 구하여라.

(1994년 4월 17일)

$\overline{BC}=a$, $\overline{CA}=b$, $\overline{AB}=c$인 $\triangle ABC$의 내부의 한 점 $P$에서 각 변 $BC, CA, AB$에 내린 수선의 발을 각각 $A’, B’, C’$이라 하고 $\overline{B’C’}=a’$, $\overline{C’A’}=b’$, $\overline{A’B’}=c’$이라 할 때 \[\frac{a’}a + \frac{b’}b+\frac{c’}c < 2\]이 성립함을 증명하여라.

(1988년 4월 30일)