평면 위에 삼각형 $ABC$와 점 $P$가 있다고 하자. 점 $P$를 지나는 직선 $\gamma$를 기준으로 직선 $PA$, $PB$, $PC$를 대칭시켜 얻은 직선들이 각각 직선 $BC$, $CA$, $AB$마 만나는 점을 각각 $A’$, $B’$, $C’$이라 하자.이떄 $A’$, $B’$, $C’$은 한 직선 위에 있음을 증명하라.
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2012 미국수학올림피아드 2번문제
정432각형의 꼭지점에 색을 칠하는데, 정확히 108개는 빨강, 108개는 녹색, 108개는 파랑, 나머지 108개는 노랑으로 칠하였다. 이때, 색깔별로 점 3개를 잘 골라 삼각형을 만들면 이렇게 만들어지는 4개의 삼각형이 서로 합동이 되게 할 수 있음을 보여라.
2012 중국수학올림피아드 1번문제
삼각형 $ABC$에서 각 $A$가 가장 큰 각이라고 하자. 삼각형 $ABC$의 외접원 위에서 $A$에서 시작하여 $B$를 거쳐 $C$로 가는 호의 중점을 $D$, $A$에서 시작하여 $C$를 거쳐 $B$로 하는 호의 중점을 $E$라 하자. 원 $c_1$이 점 $A$, $B$를 지나고 점 $A$에서 직선 $AC$에 접하고, 원 $c_2$는 점 $A$, $E$를 지나고 점 $A$에서 직선 $AD$에 접한다. 원 $c_1$과 원 $c_2$의 교점을 $A$와 점 $P$라 하자. 이때 $AP$는 각 $BAC$를 이등분함을 증명하라.
2012 중국 TST1 첫째날 2번문제
각 변의 길이가 서로 다른 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 점 $L$, $M$, $N$을 각각 직선 $EF$, $FD$, $DE$에 대해 각각 점 $D$, 점 $E$, 점 $F$를 대칭시켜 얻은 점이라 하자. 직선 $AL$이 직선 $BC$와 만나는 점을 $P$, 직선 $BM$이 직선 $CA$와 만나는 점을 $Q$, 그리고 직선 $CN$이 직선 $AB$와 만나는 점을 $R$이라 하자. 이때 $P$, $Q$, $R$은 한 직선 위에 있음을 보여라.
2011 제24회 한국수학올림피아드 최종시험 2번문제
예각삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위에 점 $P\,(\ne B, C)$가 있다. 삼각형 $ABC$의 수심 $H$에서 선분 $AP$에 내린 수선의 발을 $D$라 하고, 삼각형 $ABD$와 $ACD$의 외접원을 각각 $\Gamma_1, \Gamma_2$라 하자. 점 $D$를 지나고 변 $BC$에 평행한 직선이 $\Gamma_1, \Gamma_2$와 만나는 점 중 $D$가 아닌 점을 각각 $X, Y$라 하고, $AB, AC$와 만나는 점을 각각 $E, F$라 하자. 두 직선 $XB$와 $YC$의 교점을 $Z$라 할 때, $BP=CP$일 필요충분조건은 $ZE=ZF$임을 보여라.
(2011년 3월 26일)
2009 제22회 한국수학올림피아드 최종시험 1번문제
삼각형의 세 변의 길이 $a$, $b$, $c$에 대하여
\[ A=\frac{a^2+bc}{b+c}+\frac{b^2+ca}{c+a}+\frac{c^2+ab}{a+b},\]\[ B=\frac{1}{\sqrt{(a+b-c)(b+c-a)}}+\frac{1}{\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)}}+\frac{1}{\sqrt{(c+a-b)(a+b-c)}}\]이라 할 때, $AB\ge 9$임을 보여라.
(2009년 3월 28일, 출처4시간 30분)