서로 소인 양의 정수 $a$, $b$가 주어져 있다. 정수 수열 $(a_n)$과 $(b_n)$은
\[ (a+b\sqrt 2)^{2n}=a_n+b_n \sqrt 2\]를 만족하는 수열이라고 하자. 다음 조건을 만족하는 소수 $p$를 모두 구하여라:
(조건) 정수 $b_n$이 $p$의 배수가 되는 $p$ 이하의 양의 정수 $n$이 존재한다.
(2013년 3월 24일, 4시간 30분)
태그 보관물: 소수
2013 루마니아 수학 마스터 1번문제
양의 정수 $a$에 대해 $x_1=a$이고 $n\ge 1$일 때 $x_{n+1}=2x_n+1$이 되는 수열 $x_1,x_2,\ldots$에 대해 $y_n=2^{x_n}-1$이라 하자. 이때 어떤 양의 정수 $a$에 대해 $y_1,y_2,\ldots,y_k$가 모두 소수가 되는 $k$ 중 최대값은 얼마인가?
(2013년 3월 1일, 4시간 30분동안 3문제, 출처)
2013 루마니아 수학 마스터 5번문제
정수 $k\ge 2$에 대해 $a_1=1$이라 하고 모든 정수 $n\ge 2$에 대해 $x>a_{n-1}$이면서 \[ x=1+\sum_{i=1}^{n-1} \left\lfloor \sqrt[k]{\frac{x}{a_i}} \right\rfloor \]인 $x$중 가장 작은 것을 $a_n$이라 하자. 수열 $a_1,a_2,\ldots$에는 모든 소수가 나타남을 증명하라.
(2013년 3월 2일, 4시간 30분동안 3문제, 출처)
2012 Baltic Way 팀수학경시대회 10번문제
두 사람 A, B가 아래 게임을 한다. 게임 시작 전에 A는 1000개의 홀수인 소수를 고른다. (같은 수를 여러번 고를 수도 있다.) B는 A가 고른 수를 보고 그 중 절반을 골라 칠판에 적는다. 게임을 할 때 자기 순서가 되면 양의 정수 n을 하나 골라 칠판에 적힌 $n$개의 소수 $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_n$을 지우고 대신에 $p_1p_2\cdots p_n-2$의 모든 소인수들로 바꿔쓴다. (단 어떤 소수가 $p_1p_2\cdots p_n-2$의 소인수분해에서 여러번 나타나면 그 횟수만큼 반복해서 적는다.)
A가 먼저 게임을 시작하며 돌아가면서 게임을 하되 칠판에 수가 없어지게 만드는 사람이 진다고 한다. 누가 반드시 이길 수 있는 전략이 있는가?
(1은 소인수가 없으므로 자기 차례에 3 하나를 지우는 것은 괜찮다.)
2012 제26회 한국수학올림피아드 고등부 5번문제
$3$보다 큰 소수 $p$가 다음 조건을 만족한다.
$2^x-1$이 $p$의 배수가 되는 양의 정수 $x$ 중 가장 작은 것이 $p-1$이다.
$p=2k+3$이라 할 때, 수열 $\{a_n\}$을 식 \[a_i=a_{k+i}=2^i \quad (1\le i\le k), \qquad a_{j+2k}=a_i a_{j+k} \quad (j\ge 1)\]에 따라 귀납적으로 정의하자. 수열 $\{a_n\}$에는 $p$로 나눈 나머지가 모두 다른 $2k$개의 연속한 항이 존재함을 보여라.
(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분) (중등부 6번문제와 동일)
2012 제26회 한국수학올림피아드 고등부 3번문제
등식 $2^m p^2+1=q^5$을 만족하는 양의 정수 $m$과 소수 $p$, $q$를 모두 구하여라.
(2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)