임의로 주어진 소수 $p$가 있다. 다음 조건들을 모두 만족하는 양의 정수열 $(n_1,n_2,\ldots,n_k)$가, $k = 1$일 때에는 존재하지 않지만, $2$ 이상의 어떤 양의 정수 $k$ 하나에 대해서라도 존재하면, 소수 $p$를 참한 소수라고 부르자:
조건 1. 모든 $i = 1,2,\ldots,k$에 대하여 $n_i \ge\frac{p+1}{2}$.
조건 2. 모든 $i=1,2,\ldots,k$에 대하여 $p^{n_i} −1$은 $n_{i+1}$의 배수이고, $\frac{p^{n_i} −1}{n_{i+1}}$과 $n_{i+1}$은 서로소이다. 단, $n_{k+1} = n_1$이다.
$2$는 참한 소수가 아니지만 그 외의 모든 소수는 참한 소수임을 보여라.
(2010년 3월 28일, 출처, 4시간 30분)

정수 $p^p + q^q + 1$이 $pq$의 배수가 되도록 하는 소수의 쌍 $(p, q)$를 모두 구하여라.
(2007년 3월 25일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

양의 정수 $a$에 대하여 집합 $S_a$를 다음 조건을 만족하는 소수 $p$ 전체의 집합이라 하자.
(조건) 적당한 홀수 $b$가 존재하여 $p$는 $(2^{2^b})^b-1$의 약수이다.
임의의 양의 정수 $a$에 대하여, 집합 $S_a$에 속하지 않는 소수가 무한히 많음을 보여라
(2006년 3월 25일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

양의 정수 $N$이 다음 두 성질을 만족하면 “$n$-좋은수”라 한다.
(성질 1) $N$은 $n$개 이상의 서로 다른 소수로 나누어진다.
(성질 2) $N$을 나누는 서로 다른 $n$개의 양의 정수 $1,x_2,\ldots,x_n$이 존재하여 \[1+x_2+\cdots+x_n=N\]을 만족한다.
양의 정수 $n$이 $6$ 이상이면 $n$-좋은수가 언제나 존재함을 보여라.
(2006년 3월 26일, 4시간 30분, 3문제, 출처)