다음과 같이 정의되는 수열 $\{X_n\}$, $\{Y_n\}$이 있다. \begin{align*} X_0=1, & \quad X_1=1, & \quad X_{n+1} = X_n + 2 X_{n-1} & \quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \\ Y_0=1, & \quad Y_1=7, & \quad Y_{n+1} = 2 Y_n + 3 Y_{n-1} & \quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \end{align*} 이 두 수열의 처음 몇 항은 다음과 같다. \begin{align*} X : & 1, ~ 1, ~ 3, ~ 5, ~ 11, ~ 21, ~ \ldots \\ Y : & 1, ~ 7, ~17, ~55, ~161, ~487, ~ \ldots \end{align*} 이 두 수열에 공통으로 나타나는 수는 1 밖에 없음을 보여라.
태그 보관물: 점화식
1976 국제수학올림피아드 2번문제
$P_1(x) = x^2-2$ 이고 $P_j(x) = P_1(P_{j-1}(x))$ 라 정의하자($j=2,3,…$). 어떤 자연수 $n$에 대해서도, 방정식 $P_n(x) = x$ 의 근들은 모두 실수이고 서로 다름을 보여라.
1976 국제수학올림피아드 6번문제
수열 $\{u_n\}$은 다음과 같이 정의된다. \[ u_0 = 2, \quad u_1=5/2, \qquad u_{n+1} = u_n(u_{n-1}^2-2) – u_1 \quad\text{(n=1,2,…)} \] 모든 자연수 $n$에 대해 다음이 성립함을 증명하여라. \[ [u_n] =2^{[2^n-(-1)^n]/3} \] 단, $[x]$는 $x$보다 작거나 같은 최대의 정수를 나타낸다.
1988 아일랜드 수학올림피아드 8번문제
0이 아닌 실수들의 수열 $x_1, x_2, x_3, \ldots$은 다음의 점화식을 만족한다.\[ x_n = \frac{x_{n-2}x_{n-1}}{2x_{n-2} – x_{n-1}} \qquad (n \geq 3)\] 이 수열의 무한히 많은 항이 정수가 되도록 하는 $(x_1, x_2)$를 모두 구하여라.
1988 아일랜드 수학올림피아드 11번문제
나눗셈을 할 수 없는 상황일 때는 종종 $\frac1a$ $(a>0)$ 의 십진전개를 얻기 위해 다음의 식을 반복하는 것이 편할 때가 있다.\[ x_{k+1} = x_k(2 – ax_k), \qquad k = 0, 1, 2, \ldots\] 단, $x_0$은 초기값으로 하나 선택된 것이다. 이 점화식에 의해 수열이 원하는 값 $\frac1a$로 수렴하기 위한 초기값 $x_0$의 조건을 구하여라.
1998 아일랜드 수학올림피아드 9번문제
$x_0$, $x_1$은 임의로 주어진 양의 실수이고, $n \geq 0$ 에 대해 $x_{n+2} = \dfrac{1+x_{n+1}}{x_n}$ 으로 정의되는 수열 $(x_n)$이 있다. $x_{1998}$을 구하여라.