예각삼각형 $ABC$아 있어 그 외심이 $O$로 주어져 있다. 세 점 $A,B,C$에서 대변에 내린 수선의 발을 각각 $D,E,F$라 하고, 변 $BC$의 중점을 $M$이라 하자. 직선 $AD$와 직선 $EF$의 교점을 $X$, 직선 $AO$와 직선 $BC$의 교점을 $Y$라 하고, 선분 $XY$의 중점을 $Z$라 한다. 이 때 세 점 $A,Z,M$이 한 직선 위에 있음을 보여라.
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2012 제73회 William Lowell Putnam 수학경시대회 A1
개구간 $(1,12)$에서 12개의 실수 $d_1,d_2,\ldots,d_{12}$를 아무렇게나 잡더라도, $d_i$, $d_j$, $d_k$가 예각삼각형의 세 변의 길이가 되도록 세 수 $1\le i<j<k\le 12$를 잡을 수 있음을 보여라.
(2012년 12월 1일)
2011 국제수학올림피아드 6번문제
예각삼각형 $ABC$의 외접원 $\Gamma$에 접하는 어떤 직선 $\ell$이 있다. 세 직선 $\ell_a$, $\ell_b$, $\ell_c$는 직선 $\ell$을 세 직선 $BC$, $CA$, $AB$에 대하여 각각 대칭이동하여 얻은 직선이다. 세 직선 $\ell_a$, $\ell_b$, $\ell_c$에 의해 결정되는 삼각형의 외접원이 원 $\Gamma$에 접함을 보여라.
2012 미국수학올림피아드 1번문제
어떤 정수 $n\ge 3$에 대해, 임의의 $n$개의 양의 실수 $a_1,a_2,\ldots,a_n$가 부등식 \[\max(a_1,a_2,\ldots,a_n)\le n \cdot\min (a_1,a_2,\ldots,a_n)\]을 만족하면 그 중 어떤 서로 다른 세 수는 반드시 예각삼각형의 세 변의 길이가 된다고 한다. 이러한 것이 가능한 모든 $n$을 구하여라.
2012 중국 TST3 첫째날 1번문제
수심이 $H$인 예각삼각형 $ABC$의 변 $AB$와 $AC$위에 각각 점 $M$, $N$을 $\angle HMB=\angle HNC=60^\circ$가 되게 잡자. 삼각형 $HMN$의 외심을 $O$라 하자. 삼각형 $DBC$가 정삼각형이 되게 $D$를 직선 $BC$로 나누어진 평면에서 $A$와 같은 쪽에 있도록 잡자. 이때 $H$, $O$, $D$가 한 직선 상에 있음을 증명하라.