사면체 $ABCD$에서 $\angle BDC$는 직각이다. $D$에서 평면 $ABC$에 내린 수선의 발 $H$가 $\triangle ABC$의 수심이 된다고 하자. 다음 부등식을 증명하여라. \[ (AB+BC+CA)^2 \leq 6(AD^2+BD^2+CD^2) \] 어떤 사면체일 때 등호가 성립하는가?
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1961 국제수학올림피아드 2번문제
$a$, $b$, $c$는 어떤 삼각형의 세 변의 길이이고 $T$는 그 삼각형의 넓이이다. $a^2+b^2+c^2 \geq 4\sqrt{3}\,T$ 임을 증명하여라. 등호는 어떤 경우에 성립하는가?
2005 아일랜드 수학올림피아드 3번문제
삼각형의 세 중선의 길이의 합은 둘레의 길이의 $\frac34$ 이상임을 증명하여라.
2003 아일랜드 수학올림피아드 6번문제
둘레의 길이의 합이 2인 삼각형의 세 변의 길이를 $a$, $b$, $c$라 할 때, 다음 부등식을 증명하여라.\[ 1 \le ab + bc + ca – abc \le 1 + \frac1{27}\]
1998 아일랜드 수학올림피아드 10번문제
삼각형 $ABC$의 각 변의 길이는 정수이고, $\angle A = 2 \angle B$, $\angle C > 90^\circ$ 이다. 이 삼각형의 둘레의 길이의 최소값을 구하여라.
1995 아일랜드 수학올림피아드 3번문제
$A$, $X$, $D$는 이 순서대로 한 직선 위에 있는 점들이다. 같은 평면 위의 점 $B$가 $\angle ABX > 120^\circ$ 를 만족하고 $B$, $C$, $X$도 이 순서대로 한 직선 위에 있다. 다음 부등식을 증명하여라.\[ 2|AD| \geq \sqrt3 (|AB| + |BC| + |CD|)\]