한 변의 길이가 1인 정사각형의 각 변 위에 꼭지점을 하나씩 잡아 새로운 사각형을 만들었다. 이 사각형의 네 변의 길이 $a$, $b$, $c$, $d$가 다음 부등식을 만족함을 보여라. \[ 2 \leq a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \leq 4 \]
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1989 아일랜드 수학올림피아드 8번문제
삼각형 $ABC$의 내부의 점 $P$에서 이 삼각형의 세 변에 이르는 거리의 곱은 이 삼각형의 각 변의 길이의 $\frac1{2\sqrt2}$들의 곱을 넘지 않음을 보여라. 또, 등호가 성립할 조건은 정삼각형일 때임을 밝혀라.
1993 국제수학올림피아드 4번문제
평면 위의 세 점 $P, Q, R$에 대하여, 삼각형 $PQR$의 세 개의 높이 중 최소값을 $m(PQR)$로 표시하자.(단, $P, Q, R$이 한 직선 위에 있으면 $m(PQR)=0$이라고 한다.) 평면 위에 점 $A, B, C$가 주어졌을 때, 같은 평면 위의 임의의 점 $X$에 대하여 다음을 증명하여라.
\[m(ABC)\le m(ABX) +m(AXC)+m(XBC).\]
1989 제2회 한국수학올림피아드 최종시험 6번문제
세 변의 길이가 각각 $a, b, c$인 $\triangle ABC$의 중심을 $G$, 내심을 $I$, 내접원의 반지름의 길이를 $r$이라 할 때, 다음 물음에 답하여라.
(1) $\overline{GI}^2 = r^2 + f(a, b, c)$ 이라 할 때, $a, b, c$에 관한 이차식 $f(a, b, c)$를 구하여라.
(2) 중심 $G$가 내접원 위에 있을 때
(i) $a\ge b\ge c$라 하고 $\frac ac$의 최대값을 구하여라.
(ii) 세 변의 길이가 정수인 삼각형의 예를 하나 들어라.
1990 제3회 한국수학올림피아드 최종시험 4번문제
삼각형 $ABC$의 내접원의 반지름의 길이를 $r$, 세 개의 방접원의 반지름의 길이를 각각 $r_A, r_B, r_C$라 할 때 \[\frac 1{r_A}+\frac 1{r_B} + \frac 1{r_C}=\frac 1r\]임을 밝혀라.
1993 제6회 한국수학올림피아드 최종시험 2번문제
$BC=a$, $CA=b$, $AB=c$인 삼각형 $ABC$가 주어져 있다. \[ a\cdot AP^2+b \cdot BP^2+c\cdot CP^2\]을 최소로 하는 점 $P$와 그 최소값을 구하여라.