각 $B$가 직각이 아니고 $AB \ne AC$인 삼각형 $ABC$의 내심 $I$에서 변 $BC$, $CA$, $AB$에 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 직선 $AB$와 $DI$의 교점을 $S$, 직선 $DF$에 수직이고 $F$를 지나는 직선이 직선 $DE$와 만나는 점을 $T$, 직선 $ST$가 직선 $EF$와 만나는 점을 $R$이라 하자. 이 때, 선분 $IR$을 지름으로 하는 원이 삼각형 $ABC$의 내접원과 만나는 두 점 중 직선 $IR$에 대해 $A$와 다른 쪽에 있는 점을 $P_{ABC}$라 하자.
${XZ}={YZ}>{XY}$인 이등변삼각형 $XYZ$의 변 $YZ$ 위에 ${WY}<{XY}$인 점 $W$가 있다. $K=P_{YXW}$, $L=P_{ZXW}$라 할 때 $2\,KL\le XY$임을 보여라.
(2012년 3월 24일 오후, 4시간 30분)
아래 그림과 같이, 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라 하고 내접원이 변 $AB$, 변 $AC$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$라 하자. 삼각형 $BCI$의 외심을 $O$라고 할 때, $\angle ODB=\angle OEC$임을 보여라.
(2012년 8월 11일, 광저우, 둘째날 4시간 동안 5~8번 문제)
삼각형 $ABC$의 방접원 중 변 $BC$와 점 $M$에서 만나는 방점원의 중심을 $O$라 하자. 변 $AB$와 변 $AC$위에 각각 점 $D$, $E$를 잘 잡아서 $DE$가 $BC$에 평행하게 하자. 삼각형 $ADE$의 내접원의 중심을 $O_1$, 이 내접원이 $DE$에 만나는 점을 $N$이라 하자. 그리고 직선 $BO_1$과 직선 $DO$가 만나는 점을 $F$, 직선 $CO_1$과 직선 $EO$가 만나는 점을 $G$라 하자. 이때 $FG$의 중점은 직선 $MN$ 위에 있음을 증명하라.
삼각형 $ABC$의 내접원이 세 변 $BC$, $CA$, $AB$와 접하는 점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 삼각형 $ABC$의 내접원 위에 있고 삼각형 $AEF$의 내부에 있는 점 $P$에 대하여, 선분 $PB$와 선분 $DF$의 교점을 $X$, 선분 $PC$와 선분 $DE$의 교점을 $Y$라 하고 선분 $EX$와 선분 $FY$의 교점을 $Q$라 할 때, 두 점 $A$와 $Q$는 동시에 직선 $DP$ 위에 있거나 직선 $DP$를 중심으로 서로 반대편에 있음을 보여라.
(2011년 8월 21일)
삼각형 $ABC$의 내접원 $I$가 변 $BC,CA,AB$와 각각 $P,Q,R$에서 접한다고 하자. 두 점 $B,C$를 지나는 원이 원 $I$와 점 $X$에서 접하고, $C,A$를 지나는 원이 $I$와 점 $Y$에서 접하고, $A,B$를 지나는 원이 점 $Z$에서 접할 때, 세 직선 $PX,QY,RZ$가 한 점에서 만남을 보여라.
(2010년 8월 22일 10:00-12:30)
예각삼각형 $ABC$의 내심을 $I$, 외심을 $O$, 수심을 $H$라 하고, 내접원이 변 $BC$에 접하는 점을 $D$라 하자. 이때, $\angle B\lt \angle C$이고, 두 선분 $AO$와 $HD$는 평행하다고 한다. 직선 $OD$와 직선 $AH$의 교점을 $E$라 하고 선분 $CI$의 중점을 $F$라 할 때, 네 점 $E$, $F$, $I$, $O$는 한 원 위에 있음을 보여라.
(2010년 3월 27일, 출처, 4시간 30분)