$P(x)$는 $k=0,1,2,\dotsc,n$ 에 대해 $P(k) = k/(k+1)$ 을 만족하는 $n$차 다항식이다. $P(n+1)$을 구하여라.
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1974 미국수학올림피아드 1번문제
$a$, $b$, $c$는 서로 다른 정수들이고, $P$는 정수계수의 다항식이다. $P(a)=b$, $P(b)=c$, $P(c)=a$ 일 수 없음을 보여라.
1976 국제수학올림피아드 2번문제
$P_1(x) = x^2-2$ 이고 $P_j(x) = P_1(P_{j-1}(x))$ 라 정의하자($j=2,3,…$). 어떤 자연수 $n$에 대해서도, 방정식 $P_n(x) = x$ 의 근들은 모두 실수이고 서로 다름을 보여라.
1975 국제수학올림피아드 6번문제
다음 조건들을 만족하는 2변수 다항식 $P$를 모두 찾아라.
(i) 어떤 자연수 $n$과 임의의 실수 $t$, $x$, $y$에 대해 \[ P(tx,ty) = t^n P(x,y) \] (즉, $P$는 차수 $n$인 동차식이다.)
(ii) 모든 실수 $a$, $b$, $c$에 대해 \[ P(b+c,a) + P(c+a,b) + P(a+b,c) = 0 \]
(iii) $P(1,0)=1$
1974 국제수학올림피아드 6번문제
$P$는 상수가 아닌 정수 계수의 다항식이다. $(P(k))^2=1$ 를 만족하는 정수 $k$의 개수를 $n(P)$로 나타내기로 할 때, $n(P) – \deg(P) \leq 2$ 임을 증명하여라. 단, $\deg(P)$는 다항식 $P$의 차수를 의미한다.
1973 국제수학올림피아드 3번문제
$a$와 $b$는 다음 방정식 \[ x^4 + ax^3 + bx^2 + ax + 1 = 0 \] 이 적어도 하나의 실수해를 갖도록 하는 실수들이다. 이런 모든 순서쌍 $(a,b)$들에 대해 $a^2+b^2$의 최솟값을 구하여라.