---

자연수 $n$에 대해 $a(n) = n^2 + n + 1$꼴의 수들을 모두 모은 집합을 $S$라 하자. $a(n)a(n+1)$도 항상 $S$의 원소가 됨을 보이고, $S$의 두 원소 $s$, $t$에 대해 $st \notin S$ 가 되는 예를 하나 제시하여라.

$ABCDE$는 한 변의 길이가 1인 정오각형이다. $AB$의 중점을 $F$라 하고, $G$와 $H$는 각각 변 $CD$와 $DE$ 위에서 $\angle GFD = \angle HFD = 30^\circ$ 를 만족하는 점이라 하자. $GFH$가 정삼각형임을 보여라. 또, $\triangle GFH$에 내접하고 한 변은 $GH$ 위에 놓여있는 정사각형의 한 변의 길이를 $a$라 할 때, 다음을 증명하여라.\[ FG = t = \frac{2 \cos 18^\circ \cos^2 36^\circ}{\cos 6^\circ} \qquad\text{이고}\qquad a = \frac{t \sqrt3}{2 + \sqrt3}\]

$f(x) = 5x^{13} + 13 x^5 + 9ax$ 라 하자. 모든 정수 $x$에 대해 $f(x)$가 65로 나누어떨어지게 되는 최소의 자연수 $a$를 구하여라.

다음과 같은 등차수열 $x_0, x_1, \dots, x_M$ 이 존재하는 실수 수열 $a_1 < a_2 < \cdots < a_M$ 을 길이 $M$의 약한 등차수열이라고 부른다. \[ x_0 \leq a_1 < x_1 \leq a_2 < x_2 \leq \cdots \leq a_M < x_M\] (1) $a_1 < a_2 < a_3$ 이면 $(a_1,a_2,a_3)$은 항상 약한 등차수열임을 증명하여라. (2) $\{0,1,2,\dots,999\}$에서 730개 이상의 원소를 골라 만든 임의의 부분집합에는 길이 10의 약한 등차수열이 반드시 포함됨을 증명하여라.

좌표축과 서로 다른 세 점에서 만나는 모든 포물선 $y = x^2 + 2px + q$ 들을 생각하자($p$, $q$는 실수). 그런 $p$, $q$에 대해, 이 세 교점을 지나는 원을 $C_{p,q}$로 나타내자. 모든 원 $C_{p,q}$가 한 점을 공통으로 지남을 증명하여라.

$x+y=2$ 인 음 아닌 실수 $x$, $y$에 대해 다음을 증명하여라.\[ x^2 y^2 (x^2 + y^2) \leq 2\]

원에 내접하는 사각형 $ABCD$의 네 변의 길이를 $a$, $b$, $c$, $d$라 하고 넓이를 $Q$, 외접원의 반지름을 $R$이라 하자.\[ R^2 = \frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{16Q^2}\]임을 증명하여라. 또, 이로부터 $R \geq \dfrac{(abcd)^{3/4}}{Q\sqrt2}$ 임을 보이고, 등호조건이 $ABCD$가 정사각형일 때임도 보여라.

$n$은 주어진 (고정된) 자연수이다.\[ \frac1{x_1} + \frac2{x_2} + \cdots + \frac n{x_n} = m\]을 만족하는 자연수 $x_1 < x_2 < \cdots < x_n$ 이 존재하는 모든 자연수 $m$을 찾아라.

연속하는 10개의 정수들의 집합에는 다른 모든 원소와 서로 소인 원소가 항상 존재함을 보여라. (예를 들어, 집합 $\{114,115,\dots,123\}$에서는 119와 121이 그러한 원소이다.)

$p(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$ 은 음 아닌 실수 계수의 다항식이다. $p(4)=2$ 이고 $p(16)=8$ 이라 하자. $p(8) \leq 4$ 임을 증명하고, $p(8)=4$ 를 만족하는 $p$를 모두 찾아라.