피보나치 수열은 $F_0=0$, $F_1=1$, 그리고 $n \geq 0$ 에 대해 $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$ 로 정의된다. 다음을 증명하여라.
(1) “$F_{n+k} – F_n$ 이 모든 자연수 $n$에 대해 10으로 나누어떨어진다”는 문장은
$k=60$ 일 때는 참이지만 $k<60$ 이면 항상 거짓이다. (2) ``$F_{n+t} - F_n$ 이 모든 자연수 $n$에 대해 100으로 나누어떨어진다''는 문장은 $t=300$ 일 때는 참이지만 $t<300$ 이면 항상 거짓이다.

$n = 1, 2, 3, \dotsc$ 에 대해 $a_n = \dfrac{n^2+1}{\sqrt{n^4+4}}$ 이고, $b_n = a_1a_2 \cdots a_n$ 이다. $b_n = \dfrac{\sqrt{2(n^2+1)}}{\sqrt{n^2+2n+2}}$ 임을 보이고, 이로부터 $\dfrac1{(n+1)^3} < \dfrac{b_n}{\sqrt2} - \dfrac n{n+1} < \dfrac1{n^3}$ 임을 보여라.

$\pm1$만으로 이루어진 수열 $a_1, \ldots, a_n$이 $a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_{n-1}a_n + a_na_1 = 0$ 을 만족한다. $n$이 4의 배수임을 증명하여라.

$a_n = 2 \cos \dfrac t{2^n} – 1$ 이라 할 때 곱 $a_1a_2 \cdots a_n$을 간단한 식으로 나타내어라. 그리고 이 곱이 $\dfrac{2 \cos t + 1}3$ 으로 수렴함을 보여라.

양의 무리수 $\alpha$에 대하여 수열 $\{q_n\}_{n\ge 1}$을 \[ q_n=\frac{\lceil n\alpha\rceil }{n}\]로 정의하면 수열 $\{q_n\}_{n\ge 1}$은 단조증가수열이 아님을 보여라 (단, $\lceil x\rceil$는 $x$를 넘지 않는 최대 정수).