태그 보관물: 조합기하

2014 국제수학올림피아드

2014 국제수학올림피아드 6번문제

평면 위의 직선들이 어느 두 직선도 서로 평행하지 않고, 어느 세 직선도 한 점에서 만나지 않을 때, 그 직선들이 ‘보편적으로 배치되어 있다’고 하자. 보편적으로 배치되어 있는 직선들은 평면을 여러개의 영역으로 쪼개고, 그 영역들 중 일부는 유한의 넓이를 갖는다. 이처럼 유한의 넓이를 갖는 영역을 그 배치의 ‘유한영역’이라고 할 때, 다음을 증명하여라: 충분히 큰 모든 $n$에 대하여, $n$개의 직선들로 이루어진 어떠한 보편적 배치에 대하여도, 최소한 $\sqrt{n}$개의 직선을 파란색으로 칠하되 그 배치의 어떠한 유한영역도 그 경계를 이루는 변들이 모두 파랗지는 않도록 칠할 수 있는 방법이 있다.

Note: 만일 $\sqrt n$에 대해서는 결과를 구하지는 못하였으나 대신 $c\sqrt n$에 대한 결과를 구한 경우에는, 상수 $c$의 값에 따라 부분점수를 준다.

2011 루마니아 수학 마스터

2011 루마니아 수학 마스터 5번문제

모든 $n \geq 3$에 대해, 다음 조건을 만족하는 평면 위의 서로 다른 $n$개의 점들 $X_1,\cdots,X_n$의 위치를 모두 구하여라: 임의의 서로 다른 두 점 $X_i,X_j$에 대해 $\{1,2,\cdots,n\}$의 순열 $\sigma$가 존재하여 모든 $1 \leq k \leq n$에 대해 $d(X_i,X_k)=d(X_j,X_{\sigma(k)})$가 성립한다. ($d(X,Y)$는 평면 상에서의 두 점 $X,Y$ 사이의 거리이다.)

2013 제74회 William Lowell Putnam 수학경시대회

2013 제74회 William Lowell Putnam 수학경시대회 A5

정수 $m\ge 3$에 대해 $\binom{m}{3}$개의 실수 $a_{ijk}$ ($1\le i\lt j\lt k\le m$)의 순서쌍이 아래 성질을 만족하면 $\mathbb{R}^n$에 대한 면적양수열이라 부르자:
공간 $\mathbb{R}^n$의 임의의 $m$개의 점 $A_1,A_2,\ldots,A_m$에 대해 \[ \sum_{1\le i\lt j\lt k\le m} a_{ijk} \cdot \operatorname{Area}(\triangle A_i A_jA_k)\ge 0.\] 예를 들어 $a_{123}=a_{124}=a_{134}=1$, $a_{234}=-1$이면 $\mathbb{R}^2$에 대한 면적양수열이다. 이때 $\binom{m}{3}$개의 수가 $\mathbb{R}^2$에 대한 면적양수열이면 $\mathbb{R}^3$에 대한 면적양수열도 됨을 증명하라.

2013 제27회 한국수학올림피아드 고등부

2013 제27회 한국수학올림피아드 고등부 8번문제

양의 정수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여, 평면 위에 $a+b+c+d$개의 점으로 이루어진 집합 $X$가 있다. $X$의 어떠한 세 점도 한 직선 위에 있지 않다면 다음 조건을 모두 만족하는 평행하지 않은 두 직선 $\ell_1$, $\ell_2$가 존재함을 증명하여라.
(i) $X\cap (\ell_1\cup \ell_2)=\emptyset$
(ii) 두 직선 $\ell_1$과 $\ell_2$로 평면을 나누었을 때 만들어지는 네 영역이 $X$의 원소를 각각 $a$, $b$, $c$, $d$개 포함한다.