폐구간 $[-1,1]$에 속한 유리수 $r$에 대해 $\theta=\cos^{-1} r$이라 하자. 평면 위의 점의 집합 $S$에 속한 임의의 점을 중심으로 각 $\theta$만큼 시계방향이나 반시계방향으로 회전하여도 $S$가 변함이 없을때 이러한 집합 $S$를 좋다고 하자. 이때 다음 성질이 만족되게 하는 모든 $r$ 값을 구하여라: 좋은 집합의 임의의 두 점의 중점 역시 그 집합에 속한다.
(2013년 6월 25일, 4시간 반동안 3문제, 출처)
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2013 국제수학올림피아드 2번문제
평면 위에 배치된 $4027$개의 점을 생각하자. 그 중 어떤 세 점도 한 직선 위에 있지 않고, 전체가 $2013$개의 빨간점과 $2014$개의 파란점으로 이루어진 경우, 이러한 배치를 ‘콜럼비아식 배치’라고 하자. 평면 위에 직선들을 그어서 전체 평면을 여러 개의 영역으로 분할할 수 있다. 주어진 콜럼비아식 배치에 대하여 다음의 두 조건을 만족하는 직선들의 배열을 ‘좋은 배열’이라고 하자:
• 각 직선은 배치된 어떤 점도 지나지 않는다.
• 각 영역은 빨간점과 파란점을 함께 포함할 수 없다.
다음을 만족하는 $k$의 최솟값을 구하여라 : 어떠한 ($4027$개의 점으로 이루어진) 콜럼비아식 배치에 대하여도 $k$개의 직선으로 이루어진 좋은 배열이 존재한다.
(2013년 7월 23일 콜롬비아, 출처, 4시간 30분동안 3문제)
2013 일본수학올림피아드 본선 5번문제
양의 정수 $n$이 주어져있다. 어느 3개의 점도 일직선 위에 있지 않은 총 $4n$개의 점 $P_1$, $P_2$, $\ldots$, $P_{4n}$에서 모든 $i=1,2,\ldots,4n$에 대해 반직선 $P_iP_{i-1}$을 $P_i$를 중심으로 시계방향으로 $90^\circ$ 회전하면 반직선 $P_i P_{i+1}$과 일치한다고 한다. 이때 $P_iP_{i+1}$과 $P_j P_{j+1}$이 끝점이 아닌 곳에서 만나게 되는 쌍 $(i,j)$의 수(단, $1\le i<j\le 4n$)의 최댓값을 구하여라. (단 $P_{4n}=P_{0}$, $P_{4n+1}=P_1$이라 하자.)
(2013년 2월 11일, 총 4시간, 출처)
2012 이란 TST 시험3 둘째날 2번문제
양의 정수 $n$이 주어져있다. 집합 $A$와 $B$는 각각 어느 세 점도 한 직선 상에 있지 않은 평면 위의 $n$개 점의 집합이라 하자. 집합 $A$에 대해 $T(A)$를 $A$에 있는 점 $n$개를 선분 $n-1$개로 이어 만든 곡선 중 어느 두 선분도 교차점이 없도록 하는 것의 수라 하자. $T(B)$ 역시 비슷하게 정의하자. 이때 $B$가 볼록$n$각형의 꼭지점들이고 $A$는 그렇지 않다면 $T(B)<T(A)$임을 보여라.
2012 이란 TST 시험1 첫째날 3번문제
양의 정수 $n$에 대하여 아래 3가지 조건을 만족하는 평면 위의 점들의 집합을 $S$라 하자.
i) $n$개의 직선으로는 $S$의 모든 점을 다 덮을 수 없다.
ii) $S$의 임의의 원소 $x$에 대해, $S-\{x\}$에 속한 점들은 적당한 $n$개의 직선으로 덮을 수 있다.
이때 $|S|$의 최대값을 구하여라.
2011 국제수학올림피아드 2번문제
평면 위의 두 개 이상의 유한 개의 점으로 이루어진 집합 $S$가 있다. 이 집합의 어느 세 점도 일직선 위에 있지 않다. 풍차란 다음과 같은 과정을 의미한다: $S$ 중의 단 한 점 $P$를 지나는 직선 $\ell$로부터 시작하여, $P$를 회전의 중심으로 하여 $\ell$을 시계방향으로 회전시키다가 이 직선이 처음으로 $S$에 속하는 다른 점 $Q$를 만나면, 다시 $Q$를 새로운 회전중심으로 하여 시계방향으로 회전을 계속 진행한다. 이러한 진행을 $S$의 점들을 회전중심으로 하여 무한 번 계속한다.
적당한 $P\in S$와 이 점을 지나는 적당한 직선에서 시작된 풍차가 $S$의 각 점들을 회전중심으로 무한히 여러번 사용하게 됨을 보여라.