정수 $n$($\ge 3$)에 대하여, 원주 위에 등간격으로 놓여 있는 $n+1$개의 점을 생각하자. 이 점들에 정수 $0$, $1$, $\ldots$, $n$을 하나씩 배열한다. 한 배열을 회전시켜서 얻어지는 배열들은 모두 같은 배열로 간주한다. 어떤 배열이 다음 조건을 만족할 때, 그 배열을 ‘아름다운 원순열’이라 부르자:
(조건) $0 \le a\lt b\lt c\lt d\le n$이고 $a+d=b+c$인 임의의 네 정수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여, $a$와 $d$를 잇는 현과 $b$와 $c$를 잇는 현이 만나지 않는다.
아름다운 원순열의 개수를 $M$이라 하고, $x + y \le n$과 $\gcd(x, y) = 1$을 모두 만족하는 양의 정수의 순서쌍 $(x,y)$의 개수를 $N$이라 할 때, 다음을 증명하여라:\[M = N + 1.\]
(2013년 7월 24일 콜롬비아, 출처, 4시간 30분동안 3문제)
최대공약수가 $1$인 $n\ge 2$개의 양의 정수 $a_1$, $a_2,\ldots,a_n$에 대해, 그 합을 $A$라 하고, $A$와 $a_i$의 최대공약수를 $d_i$라 하며, $a_1,a_2,\ldots,a_n$에서 $a_i$를 뺀 나머지 $n-1$개 수의 최대공약수를 $D_i$라 하자. 이때 $\prod_{i=1}^n \frac{A-a_i}{d_i D_i}$의 최솟값을 구하여라.
(2013년 3월 24일, 출처, 4시간 30분)
꼭지점 $n$개인 완전그래프의 각 선에 $\binom{n}{2}$개의 연속한 양의 정수를 잘 배치하여, 모든 선 $3$개짜리 경로나 회로에 대해, 그 선에 적힌 수가 순서대로 $a$, $b$, $c$라 하면 $b$가 $a$와 $c$의 최대공약수의 배수가 되게 할 수 있는가?
$1<m<k$이고 $1<n<k$이면서 $\gcd(m,k)=\gcd(n,k)=1$, $m+n>k$이고 $k$가 $(m-1)(n-1)$의 약수가 되도록 하는 정수 $m$, $n$이 존재할 정수 $k\ge 3$를 모두 구하시오.
주어진 정수 $n\ge 2$에 대해 다음 세 조건을 만족하는 양의 정수 $n$개의 순서쌍 $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$이 유한개밖에 없음을 증명하라.
(1) $a_1>a_2>\cdots>a_n$.
(2) $\gcd(a_1,a_2,\ldots,a_n)=1$.
(3) $a_1=\sum_{i=1}^n \gcd(a_i,a_{i+1})$. (여기서 $a_{n+1}=a_1$이라 하자.)
$A$는 4 자리의 자연수이고 $B$는 $A$의 자리수를 반대로 나열한 4자리의 자연수이다. $A$와 $B$의 최대공약수는 소수이고 $B$를 이 소수로 나눈 몫은 $A+2$라고 한다. 이러한 모든 $A$의 값을 구하여라.
(1996년 4월 14일)