실수 전체의 집합을 $\mathbb R$이라 하자. 다음 조건을 만족하는 함수 $f:\mathbb R\to \mathbb R$을 모두 구하여라:
임의의 실수 $x$, $y$에 대하여 \[ f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\]이 성립한다.
태그 보관물: 함수방정식
2014 미국수학올림피아드 2번문제
정수 전체의 집합을 $\mathbb Z$라 하자. 모든 $x,y\in \mathbb Z$, $x\neq 0$에 대해 \[ x f(2f(y)-x)+y^2 f(2x-f(y))=\frac{f(x)^2}{x}+f(yf(y))\]를 만족시키는 함수 $f:\mathbb Z\to \mathbb Z$를 모두 구하여라.
2014 Baltic Way 팀수학경시대회 4번문제
실수 집합 위에서 정의된 실수 값을 가진 함수 $f$ 중 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 다음 식을 만족하는 것을 모두 구하여라. \[ f(f(y))+f(x-y)=f(xf(y)-x).\]
2015 캐나다수학올림피아드 1번문제
양의 정수의 집합을 $\mathbb{N}$이라 하자. 모든 양의 정수 $n$에 대해 \[ (n-1)^2 \lt f(n) f(f(n)) \lt n^2+n\]을 만족시키는 함수 $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$을 모두 구하여라.
2015 제28회 한국수학올림피아드 최종시험 1번문제
다음을 만족하는 함수 $f:\mathbb R\to \mathbb R$을 모두 구하여라. (단, $\mathbb R$은 실수 전체의 집합)
\[ \text{모든 실수 $x$, $y$에 대하여 } f(x^{2015}+f(y)^{2015})=f(x)^{2015}+y^{2015} \text{이다.}\]
2002 미국수학올림피아드 4번문제
$\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합이다. 임의의 실수 $x$, $y$에 대해 다음을 만족하는 모든 함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 를 결정하여라. \[ f(x^2 – y^2) = xf(x) – yf(y)\]