자연수 $n$에 대하여 $I_n=\{1,2,\ldots,n\}$이라고 하자. 임의의 소수 $p\in I_n$에 대하여 원소의 개수가 $n-[n/p]+1$인 임의의 $I_n$의 부분집합 $S$에는 $a|b$를 만족시키는 두 원소 $a$, $b$가 존재함을 보여라. 단, $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수이다.
태그 보관물: 존재성
2013 국제대학생수학경시대회(IMC) 첫째날 2번문제
두 번 미분가능한 함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$이 있다. $f(0)=0$이라고 할때 \[ f”(\xi)=f(\xi)(1+2\tan^2\xi)\]이 되는 $\xi\in(-\pi/2,\pi/2)$이 존재함을 보여라.
(2013년 8월 8일, 불가리아, 5문제, 출처)
2013 국제대학생수학경시대회(IMC) 둘째날 3번문제
$v_1,v_2,\ldots,v_d$는 $\mathbb R^d$의 단위 벡터라고 하자. 이때 모든 $i=1,2,\ldots,d$에 대해 \[ \lvert u\cdot v_i\rvert \le 1/\sqrt{d}\]가 되는 단위 벡터 $u$가 존재함을 증명하라. (단, $\cdot$은 $\mathbb R^d$에서 흔히 사용되는 내적이다.)
(2013년 8월 9일, 불가리아, 5문제, 출처)
2012 국제수학올림피아드 Short List C7
원 위의 $2^{500}$개의 점에 $1$부터 $2^{500}$까지의 정수가 적당한 순서로 적혀 있다. 이 점들 중 두 점을 잇는 선분 $100$개를 잘 고르면 선분들이 서로 만나지 않으면서 각 선분의 끝점에 적힌 수의 합이 같게 할 수 있음을 보여라.
2013 미국수학올림피아드 5번문제
두 양의 정수 $m$과 $n$이 있다. 두 수 $cm$과 $cn$을 십진법으로 적었을 때 다음 조건을 만족하게 하는 양의 정수 $c$가 존재함을 증명하라.
$1$, $2$, $\ldots$, $9$ 각각에 대해 두 수에서 그 자리수가 나타나는 횟수가 같다.
(2013년 5월 1일, 4시간 30분, 출처)
2013 유럽여학생수학올림피아드 6번문제
옛날 옛날에 백설공주와 일곱 난쟁이가 숲속 집에 살고 있었다. 16일동안 매일 난쟁이들은 다이아몬드 광산에서 일을 하거나 산딸기를 따러 숲으로 갔다. 단, 어느 난쟁이도 두 가지 종류의 일을 하루에 하지 않았다고 한다. 임의로 연속하지 않을 수도 있는 두 날짜를 비교해보니 적어도 3명 이상의 난쟁이가 같은 일을 했다고 한다. 게다가 첫날에는 모든 난쟁이가 다이아몬드 광산에서 일을 했다고 한다.
이때 16일 중 어떤 날은 모든 일곱 난쟁이가 산딸기를 따러 갔음을 증명하라.
(2013년 4월 11일 룩셈부르크, 4시간 30분, 출처)