삼각형 $ABC$의 외접원 $O$의 지름의 길이가 $2$이고, 꼭지각 $A$는 둔각이다. 점 $D$는 변 $AB$ 위의 점으로 $\overline{AD}=\overline{AC}$를 만족하는 점이고, 점 $K$는 원 $O$ 위의 점으로 선분 $AK$가 원 $O$의 지름이 되게 하는 점이다. 선분 $AK$와 선분 $CD$가 점 $L$에서 만나고, 점 $D$, $K$, $L$을 지나는 원과 원 $O$가 점 $P$($\ne K$)에서 만난다고 하자. $\angle BCD=\angle BAP=10^\circ$이면 $\overline{DP}=\sin \frac{\angle BAC}{2}$임을 보여라.
(2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)
중심이 $O$인 원$\omega$ 위에 $\frac\pi3<\angle AOB<\frac{2\pi}{3}$이 되게 두 점 $A$, $B$를 잡자. 삼각형 $AOB$의 외심을 $C$라 하자. 점 $C$를 지나는 직선 중에 $OC$ 사이에 각이 $\frac\pi3$이 되게 직선 $\ell$을 잡자. 직선 $\ell$이 원 $\omega$의 점$A$, 점$B$의 접선들과 각각 $M$, $N$에서 만난다고 하자. 삼각형 $CAM$과 $CBN$의 외접원이 원 $\omega$와 다시 만나는 아닌 점을 각각 $Q$, $R$이라 하자. 삼각형 $CAM$과 $CBN$의 외접원이 서로 만나는 $C$ 아닌 점을 $P$라 하자. 이때 직선 $OP$와 직선 $QR$이 서로 수직으로 만난다는 것을 보여라.
예각삼각형 $ABC$의 외접원을 $O$라 하자. 원호 $BAC$의 중점을 $D$라 하고, 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라 하자. 직선 $DI$와 $BC$가 만나는 점을 $E$라 하고, 직선 $DI$와 원 $O$가 만나는 $D$ 아닌 점을 $F$라 하자. 직선 $PE$와 $AI$가 평행하도록 점 $P$를 직선 $AF$ 위에 잡자. 이때 직선 $PE$는 각 $BPC$를 각이등분선임을 보여라.
예각삼각형 $ABC$의 외접원 $\Gamma$에 접하는 어떤 직선 $\ell$이 있다. 세 직선 $\ell_a$, $\ell_b$, $\ell_c$는 직선 $\ell$을 세 직선 $BC$, $CA$, $AB$에 대하여 각각 대칭이동하여 얻은 직선이다. 세 직선 $\ell_a$, $\ell_b$, $\ell_c$에 의해 결정되는 삼각형의 외접원이 원 $\Gamma$에 접함을 보여라.
점 $O$를 중심으로 하는 원 $\Gamma$ 위에 세 점 $A$, $B$, $C$가 있다. $\angle ABC>90^\circ$라고 가정하자. 점$C$에서 직선 $AC$와 수직으로 만나는 직선과 직선 $AB$와의 교점을 $D$라 하자. 직선 $AO$와 수직이고 $D$를 지나는 직선을 $\ell$이라 하자. 이 $\ell$과 직선 $AC$의 교점을 $E$라 하고, 원 $\Gamma$와 $\ell$의 교점 중 $D$와 $E$ 사이에 이있는 것을 $F$라 하자. 이때 삼각형 $BFE$의 외접원은 삼각형 $CFD$의 외접원과 $F$에서 접한다는 것을 증명하라.
평면 위의 두 원 $\omega_1$, $\omega_2$에 대해 $S$를 외접원이 $\omega_1$이고 변$BC$와 만나는 방접원이 $\omega_2$인 삼각형 $ABC$ 전체의 집합이라고 하자. 이때 $S$에 속한 각 삼각형 $ABC$에 대해 점 $D$, $E$, $F$를 각각 직선 $BC$, $CA$, $AB$가 $\omega_2$와 만나는 점이라 할 때, $S$가 공집합이 아니면 삼각형 $DEF$의 무게중심이 고정되어 있음을 증명하라.