삼각형 $ABC$가 $\angle B \gt \angle C$를 만족하고, 변 $AC$ 위의 점 $D$는 $\angle ABD=\angle C$를 만족한다. 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라고 할 때, 삼각형 $CDI$의 외접원과 직선 $AI$의 교점 $E$($\neq I$)를 지나고 $AB$에 평행한 직선이 직선 $BD$와 만나는 점을 $P$라 하자. 삼각형 $ABD$의 내심을 $J$, $A$의 $I$에 대한 대칭점을 $A’$이라 하고 직선 $JP$와 직선 $A’C$가 점 $Q$에서 만날 때, $QJ=QA’$임을 보여라.
(2013년 3월 23일, 4시간 30분)
태그 보관물: 외접원
2013 제26회 한국수학올림피아드 최종시험 4번문제
삼각형 $ABC$의 꼭지점 $B$, $C$에 마주 보는 방심을 각각 $B_1$, $C_1$이라 하자. 직선 $B_1C_1$이 삼각형 $ABC$의 외접원과 $D$($\neq A$)에서 만난다고 하자. $B_1$에서 $CA$에 내린 수선과 $C_1$에서 $AB$에 내린 수선의 교점을 $E$라 하자. 삼각형 $ADE$의 외접원 $\omega$의 점 $D$에서의 접선과 직선 $AE$가 점 $F$에서 만난다고 하자. $D$에서 $AE$에 내린 수선의 발을 $G$, 이 수선이 $\omega$와 만나는 점을 $H$($\neq D$)라 하자. 삼각형 $HGF$의 외접원과 $\omega$의 교점을 $I$($\neq H$)라 하고, $D$에서 직선 $AH$에 내린 수선의 발을 $J$라 할 때, $AI$가 선분 $DJ$의 중점을 지남을 보여라.
(2013년 3월 24일, 4시간 30분)
2013 중국 TST1 1번문제
그림과 같이 사각형 $ABCD$가 원 $\omega$에 내접한다고 하고, $AC$, $BD$는 점 $F$에서 만나고, 직선 $BA$와 직선 $CD$가 점 $E$에서 만난다. 점 $F$에서 $AB$, $CD$ 위에 내린 수선의 발을 각각 $G$, $H$라 하고, 점 $M$, $N$은 각각 선분 $BC$, $EF$의 중점이라 하자. 삼각형 $MNG$의 외접원과 선분 $BF$의 유일한 교점을 $P$, 삼각형 $MNH$의 외접원과 선분 $CF$의 유일한 교점을 $Q$라 할때, 직선 $PQ$가 직선 $BC$와 평행함을 보여라.
(2013년 3월 13일, 출처, 4시간 30분)
2013 중국 TST1 5번문제
삼각형 $ABC$의 변 $BC$, $CA$, $AB$의 중점을 각각 $L$, $M$, $N$이라 하고, 삼각형 $ABC$ 내부에 \[ PL:PM:PN=BC:CA:AB\]가 되는 점 $P$가 있다. 직선 $AP$, $BP$, $CP$가 삼각형 $ABC$의 외접원과 만나는 $A$, $B$, $C$가 아닌 점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 이때 삼각형 $APF$, $APE$, $BPF$, $BPD$, $CPD$, $CPE$ 각각의 외심을 모두 지나는 원이 존재함을 증명하라.
(2013년 3월 14일, 출처, 4시간 30분)
2013 루마니아 수학 마스터 3번문제
원 $\omega$에 내접한 사각형 $ABCD$가 있다. 직선 $AB$와 $CD$가 점 $P$에서 만나고 직선 $AD$와 $BC$가 점 $Q$에서 만나며 대각선 $AC$와 $BD$가 점 $R$에서 만난다. 선분 $PQ$의 중점을 $M$이라 하고 선분 $MR$과 원 $\omega$가 만나는 점을 $K$라 하자. 삼각형 $KPQ$의 외접원과 원 $\omega$가 한 점에서 접한다는 것을 증명하라.
(2013년 3월 1일, 4시간 30분동안 3문제, 출처)
2013 베트남 수학올림피아드 6번문제
예각삼각형 $ABC$의 외접원$O$에서 $A$를 포함하지 않는 호$BC$ 위에 점$D$를 잡자. 삼각형 $ABC$의 수심$H$를 지나는 어떤 직선$\ell$이 삼각형 $ABH$의 외접원, 삼각형 $ACH$의 외접원과 만나는 점을 각각 $M$, $N$이라 하자.
(a) 삼각형 $AMN$의 면적이 최대가 되는 직선 $\ell$을 찾아라.
(b) 점 $M$을 지나고 직선 $DB$와 수직인 직선$\ell_1$과 점 $N$을 지나고 직선 $DC$와 수직인 직선 $\ell_2$가 만나는 점을 $P$라 하자. 이때 $P$는 점 $D$가 이동할 때, 고정된 원 위에 있음을 보여라.
(7점, 2013년 1월 12일, 총 180분)